Determine as funções composta abaixo
Considere f(x)=x^{2} \quad g(x)=3 x+1 \quad e \quad k(x)=3 x^{2}+2 x
e) kog

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=x^{2},\qquad g(x)=3x+1,\qquad k(x)=3x^{2}+2x
e pede a composição indicada em (e) — isto é, k\circ g (escrito como “kog” no enunciado).
Informação importante: a única coisa que precisamos encontrar aqui é a função composta (k\circ g)(x).

Passo 2

Conceito e estratégia (muito importante para a prova): a composição de funções k e g é definida por
(k\circ g)(x)=k\big(g(x)\big).
Isso significa que primeiro calculamos g(x) e, em seguida, substituímos esse resultado no lugar de x na fórmula de k. Uma forma prática é usar uma variável auxiliar: deixe u=g(x) e escreva k(u); depois substitua u por g(x).

Passo 3

Aplicando a ideia: defina a variável auxiliar
u=g(x)=3x+1.
Anote também a expressão geral de k em função de u:
k(u)=3u^{2}+2u.

Passo 4

Agora substituímos u por g(x)=3x+1 dentro de k(u). Assim obtemos a expressão não simplificada da composição:
(k\circ g)(x)=3\big(3x+1\big)^{2}+2\big(3x+1\big).

Passo 5

Explicando como expandir o quadrado: usamos a identidade (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Aqui a=3x e b=1, então
\big(3x+1\big)^{2}=(3x)^{2}+2\cdot(3x)\cdot 1 + 1^{2}=9x^{2}+6x+1.

Passo 6

Multiplicamos esse resultado por 3:
3\big(9x^{2}+6x+1\big)=27x^{2}+18x+3.

Passo 7

Calculamos também a outra parcela 2(3x+1):
2\big(3x+1\big)=6x+2.

Passo 8

Somamos as duas parcelas obtidas — mantendo os termos agrupados antes de simplificar completamente:
(k\circ g)(x)=\big(27x^{2}+18x+3\big)+\big(6x+2\big)=27x^{2}+(18x+6x)+(3+2).

Passo 9

Agora somamos os termos semelhantes para obter a forma polinomial simplificada (última conta antes da resposta final):
27x^{2}+(18x+6x)+(3+2)=27x^{2}+24x+5.

Resposta

(k\circ g)(x)=27x^{2}+24x+5

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