Determine o gradiente dos seguintes campos escalares:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o gradiente do campo escalar dado por
Informações claras que temos:
- A função depende das variáveis
. - Queremos o vetor gradiente
, isto é, as derivadas parciais de em relação a , e .
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos representá‑lo.
Definição: o gradiente de um escalar é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Definição: o gradiente de um escalar
Cada componente
, por exemplo, é a taxa de variação de
quando apenas
varia e
ficam fixos. Para calcular cada componente usamos regras usuais de diferenciação (regra da cadeia e produto), lembrando que aqui
é produto de três fatores que dependem cada um de uma única variável:
-
, -
, -
.
Passo 3
Regra prática para derivadas parciais neste caso: quando se deriva em relação a uma variável, derivamos apenas o fator que depende dessa variável e mantemos os outros fatores como constantes.
Também precisamos da derivada de funções básicas:
Também precisamos da derivada de funções básicas:
- Derivada de
em relação a : aplique a regra da cadeia. - Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a : regra da cadeia dá
Passo 4
Calcular
.
Derivando apenas e mantendo os outros fatores:
Derivando apenas
Pode-se escrever de forma mais arrumada:
Passo 5
Calcular
.
Derivando apenas e mantendo os outros fatores:
Derivando apenas
Passo 6
Calcular
.
Derivando apenas e mantendo os outros fatores:
Derivando apenas
Ou, de forma organizada:
Passo 7
Juntar as três componentes para formar o gradiente. Assim,