Determine a imagem do conjunto S sob a transformação dada.
S é a região triangular com vértices (0,0),(1,1),(0,1), x=u^{2}, y=v.

Passo 1

O enunciado dá a região triangular
S=\{(u,v)\mid(u,v) \text{ vértices em }(0,0),(1,1),(0,1)\}é
e a transformação
\Phi(u,v)=(x,y)=(u^2,v).
Queremos achar a imagem \Phi(S) no plano (x,y).

Passo 2

Primeiro expressamos S em forma de desigualdades. Observando os vértices, vemos que as arestas são:
  • de (0,0) a (0,1) com u=0, 0\le v\le1,
  • de (0,1) a (1,1) com v=1, 0\le u\le1,
  • de (0,0) a (1,1) com u=v, 0\le v\le1.
    Logo
S=\{(u,v)\mid 0\le u\le v\le1\}.

Passo 3

Mapeamos cada fronteira de S sob \Phi:
  1. Se u=0 e 0\le v\le1, então
    x=u^2=0,\quad y=v,\quad 0\le y\le1,
    que é o segmento vertical de (0,0) a (0,1).
  2. Se v=1 e 0\le u\le1, então
    x=u^2,\quad y=1,\quad 0\le x\le1,
    que é o segmento horizontal de (0,1) a (1,1).
  3. Se u=v e 0\le v\le1, então
    x=u^2=v^2,\quad y=v,
    ou seja, a curva x=y^2 para 0\le y\le1.

Passo 4

A região \Phi(S) fica limitada por
x=0,\quad y=1,\quad x=y^2,
com y variando de 0 a 1. Portanto
\Phi(S)=\bigl\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\;0\le x\le y^2\bigr\}.

Resposta

\Phi(S)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0\le y\le1,\;0\le x\le y^2\}.

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