Questão 33. Uma região R do plano x y é dada. Determine equações para a transformação T que mapeia uma região retangular S no plano u v sobre R, onde todos os lados de S são paralelos aos eixos u e v.
R está entre os círculos x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=2 no primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação T que leva um retângulo S no plano uv sobre a região
R=\{(x,y)\mid 1\le x^2+y^2\le2,\;x\ge0,\;y\ge0\}
no plano xy. O conteúdo é mudança de variáveis usando coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
e a região R fica
1 \le r^2 \le 2,\quad 0\le \theta\le \frac{\pi}{2},
ou seja
1\le r\le \sqrt2,\quad 0\le \theta\le \frac{\pi}{2}.

Passo 3

Basta identificar u=r e v=\theta. Então o retângulo S é
S=\{(u,v)\mid 1\le u\le \sqrt2,\;0\le v\le \tfrac{\pi}{2}\}
e a transformação T é
x = u\cos v,\quad y = u\sin v.

Resposta

A transformação é
T(u,v) = \bigl(u\cos v,\;u\sin v\bigr),
com
S=\{(u,v)\mid 1\le u\le \sqrt2,\;0\le v\le \tfrac{\pi}{2}\},
que mapeia S sobre R.

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