Enunciado claro: “Determine o incentro do triângulo ABC.”
Informações visíveis na figura que vou usar: os vértices A, B e C estão indicados; não há coordenadas numéricas explícitas para os vértices (ou, se existem, não foram fornecidas de forma legível na imagem). Portanto a solução procurada é a construção do incentro (ponto equidistante dos três lados) do triângulo ABC usando a própria geometria do triângulo. Não vou assumir nenhum dado numérico adicional.
Passo 2
O que é o incentro e por que funciona essa construção (aula curta):
O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo: é o ponto que está à mesma distância dos três lados.
Uma propriedade chave: o incentro é a intersecção das três bissetrizes internas dos ângulos do triângulo. Ou seja, se traçarmos a bissetriz de \angle A, a de \angle B e a de \angle C, elas se encontram num único ponto I — esse é o incentro.
Vou usar essa propriedade para construir o incentro passo a passo.
Passo 3
Como construir a bissetriz do ângulo em A (construção com compasso e régua — descrevo cada movimento):
Coloque a ponta seca do compasso em A. Abra o compasso com uma largura conveniente (não muito pequena, para ficar preciso) e trace um arco que corte os dois lados do ângulo em dois pontos distintos; chame esses pontos de P (na semirreta AB) e Q (na semirreta AC).
Sem mudar a abertura do compasso (ou escolhendo uma abertura qualquer maior que metade de PQ), trace um arco com centro em P e outro arco com centro em Q, fazendo com que esses dois arcos se cruzem num ponto R no interior do ângulo \angle A.
Trace a reta \overline{AR}. Essa reta é a bissetriz interna de \angle A: divide \angle A em duas partes iguais. Explicação curta: os arcos construídos garantem que R está no mesmo lugar em relação a P e Q, forçando \overline{AR} a cortar o ângulo ao meio.
Passo 4
Como construir a bissetriz do ângulo em B (mesmo procedimento):
Com compasso em B, trace um arco que corte os lados que formam \angle B em S e T.
Com centros em S e T e raio adequado, faça dois arcos que se cruzem num ponto U no interior do ângulo \angle B.
Trace a reta \overline{BU}. Essa é a bissetriz interna de \angle B.
Passo 5
Encontrando o incentro e verificando:
As interseções das bissetrizes internas: defina I como o ponto de interseção das retas \overline{AR} e \overline{BU}. Por teoria, a bissetriz de \angle C também passa por I. Logo I é o incentro.
Verificação prática: para confirmar que I está à mesma distância dos três lados, marque a distância perpendicular de I a um dos lados (traçando a perpendicular por I até o lado — use compasso/régua ou transfira com compasso). Repita para outro lado; as duas distâncias devem coincidir pela propriedade do incentro. Se coincidem, é confirmação prática.
Passo 6
(Método alternativo — fórmula analítica, caso você tenha coordenadas dos vértices)
Se em vez de construção você tiver coordenadas (x_A,y_A), (x_B,y_B), (x_C,y_C), então o incentro I=(x_I,y_I) pode ser encontrado por média ponderada pelos comprimentos dos lados opostos:
x_I=\frac{a x_A + b x_B + c x_C}{a+b+c},\qquad y_I=\frac{a y_A + b y_B + c y_C}{a+b+c},
onde a=|BC|, b=|CA| e c=|AB| (cada uma é a medida do lado oposto ao vértice indicado). Explicação das letras: a é o comprimento do lado entre B e C, etc. Para usar isso você primeiro calcula a,b,c aplicando a fórmula da distância euclidiana entre pontos e depois substitui na fórmula acima.
Passo 7
Dica prática para a prova (calma e eficiente):
Se a sua prova permite régua e compasso (ou desenho), use a construção por bissetrizes (Passos 3–5): é rápido e confiável.
Se a prova fornece coordenadas numéricas, use a fórmula da Passo 6 (é direta e menos sujeita a erros de precisão do desenho).
Força — você consegue fazer isso na prova seguindo esses passos.
Resposta
O incentro é o ponto de interseção das bissetrizes internas de \angle A, \angle B e \angle C; marque esse ponto como I.