Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^2 - 4x + 3 e y = x - 1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x^2 - 4x + 3 e y = x - 1.
Informações fornecidas: as duas equações das curvas são y = x^2 - 4x + 3 (uma parábola) e y = x - 1 (uma reta). A região limitada é a parte do plano onde as duas se encontram formando uma “folha” fechada entre dois pontos de interseção. A tarefa é calcular a área dessa região.

Passo 2

Primeiro precisamos achar os pontos de interseção das curvas: igualamos as expressões de y.
x^2 - 4x + 3 = x - 1.
Passando todos os termos para um lado:
x^2 - 4x + 3 - x + 1 = 0
x^2 - 5x + 4 = 0.
Agora resolvemos a equação quadrática. Tentamos fatorar: queremos dois números cujo produto seja 4 e soma seja -5. Esses números são -1 e -4. Logo
x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) = 0,
portanto os valores de x nas interseções são \,x=1 e \,x=4.
Calculamos as coordenadas de cada ponto usando, por exemplo, a reta y = x - 1:
  • Para x=1: y = 1 - 1 = 0. Ponto (1,0).
  • Para x=4: y = 4 - 1 = 3. Ponto (4,3).

Passo 3

Para escrever a integral da área precisamos saber qual curva está acima (maior y) entre x=1 e x=4. Uma forma prática é considerar a diferença
\Delta(x) = \text{reta} - \text{parábola} = (x-1) - (x^2 - 4x + 3).á
Simplificando:
\Delta(x) = x - 1 - x^2 + 4x - 3 = -x^2 + 5x - 4.
Podemos avaliar \Delta em um ponto entre 1 e 4, por exemplo x=2:
\Delta(2) = -4 + 10 - 4 = 2 > 0.
Como \Delta(2)>0, a reta tem y maior que a parábola naquele intervalo; portanto, no intervalo [1,4] a reta y=x-1 é a curva superior e a parábola y=x^2-4x+3 é a inferior. Assim a área entre as curvas é a integral da diferença (superior − inferior) de x=1 até x=4.

Passo 4

Escrevemos a integral da área:
\text{Área} = \int_{1}^{4} \big[(x-1) - (x^2 - 4x + 3)\big]\,dx.Á
Vamos simplificar o integrando antes de integrar:
(x-1) - (x^2 - 4x + 3) = -x^2 + 5x - 4.
Logo
\text{Área} = \int_{1}^{4} \big(-x^2 + 5x - 4\big)\,dx.Á

Passo 5

Agora lembramos as regras básicas de integração (aula rápida): para um polinômio, podemos integrar termo a termo.
  • \displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C para n\neq -1.
  • Constantes saem da integral.
Aplicando termo a termo:
\int \big(-x^2 + 5x - 4\big)\,dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x + C.
Chamamos essa primitiva de F(x) = -\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{5x^2}{2} - 4x.

Passo 6

Calculamos o valor da integral definida usando F(4)-F(1).
Primeiro F(4):
F(4) = -\frac{4^3}{3} + \frac{5\cdot 4^2}{2} - 4\cdot 4 = -\frac{64}{3} + \frac{5\cdot 16}{2} - 16.
Calcule \dfrac{5\cdot 16}{2} = \dfrac{80}{2} = 40. Então
F(4) = -\frac{64}{3} + 40 - 16 = -\frac{64}{3} + 24.
Colocando em denominador comum 3:
F(4) = -\frac{64}{3} + \frac{72}{3} = \frac{8}{3}.
Agora F(1):
F(1) = -\frac{1^3}{3} + \frac{5\cdot 1^2}{2} - 4\cdot 1 = -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4.
Compute \frac{5}{2}-4=\frac{5-8}{2}=-\frac{3}{2}. Então
F(1) = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2}.
Colocando em denominador comum 6:
F(1) = -\frac{2}{6} - \frac{9}{6} = -\frac{11}{6}.
Agora a área:
\text{Área} = F(4) - F(1) = \frac{8}{3} - \left(-\frac{11}{6}\right) = \frac{8}{3} + \frac{11}{6}.Á
Colocando tudo em denominação 6:
\frac{8}{3} = \frac{16}{6},\quad \frac{16}{6} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}.
Em decimal, \dfrac{9}{2}=4{,}5.

Passo 7

Interpretação final: a área da região limitada pelas curvas é \dfrac{9}{2} unidades de área (ou 4{,}5 em forma decimal). Parabéns — a receita geral que você pode usar em provas é: (1) achar interseções, (2) determinar qual função está por cima, (3) integrar a diferença entre elas no intervalo das interseções.

Resposta

\dfrac{9}{2}

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