Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações fornecidas: as duas equações das curvas são (uma parábola) e
(uma reta). A região limitada é a parte do plano onde as duas se encontram formando uma “folha” fechada entre dois pontos de interseção. A tarefa é calcular a área dessa região.
Informações fornecidas: as duas equações das curvas são
Passo 2
Primeiro precisamos achar os pontos de interseção das curvas: igualamos as expressões de
.
Passando todos os termos para um lado:
Agora resolvemos a equação quadrática. Tentamos fatorar: queremos dois números cujo produto seja
e soma seja
. Esses números são
e
. Logo
portanto os valores de
nas interseções são
e
.
Calculamos as coordenadas de cada ponto usando, por exemplo, a reta
:
- Para
: . Ponto . - Para
: . Ponto .
Passo 3
Para escrever a integral da área precisamos saber qual curva está acima (maior
) entre
e
. Uma forma prática é considerar a diferença
Simplificando:
Podemos avaliar
em um ponto entre 1 e 4, por exemplo
:
Como
, a reta tem
maior que a parábola naquele intervalo; portanto, no intervalo
a reta
é a curva superior e a parábola
é a inferior. Assim a área entre as curvas é a integral da diferença (superior − inferior) de
até
.
Passo 4
Escrevemos a integral da área:
Vamos simplificar o integrando antes de integrar:
Logo
Passo 5
Agora lembramos as regras básicas de integração (aula rápida): para um polinômio, podemos integrar termo a termo.
-
para . - Constantes saem da integral.
Aplicando termo a termo:
Chamamos essa primitiva de
.
Passo 6
Calculamos o valor da integral definida usando
.
Primeiro
:
Calcule
. Então
Colocando em denominador comum
:
Agora
:
Compute
. Então
Colocando em denominador comum
:
Agora a área:
Colocando tudo em denominação
:
Em decimal,
.
Passo 7
Interpretação final: a área da região limitada pelas curvas é
unidades de área (ou
em forma decimal). Parabéns — a receita geral que você pode usar em provas é: (1) achar interseções, (2) determinar qual função está por cima, (3) integrar a diferença entre elas no intervalo das interseções.