Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^2 e y = 4x.

Passo 1

O enunciado pede: "Determinar a área da região limitada pelas curvas y = x^2 e y = 4x". Informações dadas: as duas curvas são as funções y=x^2 (parábola) e y=4x (reta). Não há outras restrições explícitas, então a região limitada é a área do plano onde as duas curvas se cruzam e fecham uma forma. Nosso objetivo é calcular essa área.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das curvas: devemos resolver
x^2 = 4x.
Isto é uma equação algébrica simples; passo a passo:
x^2 - 4x = 0,
fatorando:
x(x-4)=0.
Logo as soluções são x=0 e x=4. Esses são os limites em x da região limitada.

Passo 3

Determinar qual curva está acima da outra no intervalo entre as interseções ( 0\le x\le 4). Para isso, escolha um ponto intermédio, por exemplo x=2:
y_{\text{parábola}}=2^2=4,\qquad y_{\text{reta}}=4\cdot2=8.á
Como 8>4, a reta y=4x está acima da parábola y=x^2 quando 0<x<4. Portanto, a área entre as curvas é dada pela integral da diferença (topo − base) de x=0 até x=4.

Passo 4

Explicar a fórmula usada (mini-aula): a área A entre duas curvas y=f(x) (topo) e y=g(x) (base) sobre um intervalo [a,b] é
A=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.
Aqui f(x)=4x e g(x)=x^2, e os limites são a=0, b=4. A razão é geométrica: para cada fatia vertical em x a altura da fatia é f(x)-g(x), e a integral soma essas alturas vezes a largura infinitesimal dx.

Passo 5

Montar a integral que representa a área:
A=\int_{0}^{4}\bigl(4x - x^2\bigr)\,dx.

Passo 6

Calcular a antiderivada (integração passo a passo):
  • A primitiva de 4x é 2x^2, porque \frac{d}{dx}(2x^2)=4x.
  • A primitiva de x^2 é \dfrac{x^3}{3}, porque \frac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^3}{3}\right)=x^2.
    Portanto uma antiderivada de 4x-x^2 é
2x^2-\frac{x^3}{3}.
Escrevemos a integral como integral definida:
A=\left[2x^2-\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{4}.

Passo 7

Avaliar a antiderivada nos limites:
Calcule em x=4:
2\cdot 4^2 - \frac{4^3}{3} = 2\cdot16 - \frac{64}{3} = 32 - \frac{64}{3}.
Colocando em denominador comum:
32 = \frac{96}{3},\quad \frac{96}{3}-\frac{64}{3}=\frac{32}{3}.
Em x=0 a antiderivada vale 0. Portanto
A=\frac{32}{3}.

Resposta

\dfrac{32}{3}

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