Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede: "Determinar a área da região limitada pelas curvas
e
". Informações dadas: as duas curvas são as funções
(parábola) e
(reta). Não há outras restrições explícitas, então a região limitada é a área do plano onde as duas curvas se cruzam e fecham uma forma. Nosso objetivo é calcular essa área.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção das curvas: devemos resolver
Isto é uma equação algébrica simples; passo a passo:
fatorando:
Logo as soluções são
e
. Esses são os limites em
da região limitada.
Passo 3
Determinar qual curva está acima da outra no intervalo entre as interseções (
). Para isso, escolha um ponto intermédio, por exemplo
:
Como
, a reta
está acima da parábola
quando
. Portanto, a área entre as curvas é dada pela integral da diferença (topo − base) de
até
.
Passo 4
Explicar a fórmula usada (mini-aula): a área
entre duas curvas
(topo) e
(base) sobre um intervalo
é
Aqui
e
, e os limites são
,
. A razão é geométrica: para cada fatia vertical em
a altura da fatia é
, e a integral soma essas alturas vezes a largura infinitesimal
.
Passo 5
Montar a integral que representa a área:
Passo 6
Calcular a antiderivada (integração passo a passo):
- A primitiva de
é , porque . - A primitiva de
é , porque .
Portanto uma antiderivada deé
Escrevemos a integral como integral definida:
Passo 7
Avaliar a antiderivada nos limites:
Calcule em :
Calcule em
Colocando em denominador comum:
Em
a antiderivada vale
. Portanto