1. Determine as equações da linha elástica para a viga utilizando as coordenadas x . que é válida para 0 \leq x \leq \frac{L}{2} \mathrm{e} \frac{L}{2}<x \leq L. EI é constante.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as equações da linha elástica (a deflexão vertical v(x)) da viga simplesmente apoiada de comprimento L submetida a um momento concentrado M_0 aplicado no meio da viga. Devem ser dadas as expressões para as duas regiões:
  • \,0 \le x \le \dfrac{L}{2}\,
  • \dfrac{L}{2} < x \le L.
Informações dadas (retiradas do enunciado / figura):
  • comprimento total da viga: L;
  • momento concentrado aplicado no meio: M_0 (no ponto x=L/2);
  • rigidez à flexão constante: EI (constante ao longo da viga);
  • coordenada x medida a partir do apoio esquerdo A, isto é x=0 em A e x=L em B;
  • apoios simples (não engastados) em A e B.
O que precisamos encontrar:
  • as fórmulas v(x) (linha elástica) válidas em cada intervalo acima, usando x, L, M_0 e EI.

Passo 2

Determinar a força de reação nos apoios e o diagrama de momento fletor (informação necessária para escrever M(x)).
Equilíbrio das forças verticais:
\sum F_y = 0 \quad\Rightarrow\quad R_A + R_B = 0.
Equilíbrio de momentos em relação ao apoio esquerdo ( x=0):
\sum M_{A}=0 \quad\Rightarrow\quad R_B\cdot L - M_0 = 0 \quad\Rightarrow\quad R_B=\frac{M_0}{L}.
Assim,
R_A = -\frac{M_0}{L}.
Interpretação rápida: as reações são de mesma magnitude e sentidos opostos; isso é típico quando aplicamos um momento puro no interior de uma viga simplesmente apoiada: as forças reativas se ajustam para garantir equilíbrio.

Passo 3

Escrever o momento fletor M(x) interno em cada região (considerando as reações e o momento concentrado):
  • Para 0\le x < \dfrac{L}{2}: o corte entre 0 e x não inclui o momento concentrado, logo o momento interno é apenas devido a R_A:
M(x)=R_A\,x = -\frac{M_0}{L}\,x.
  • Para \dfrac{L}{2} < x \le L: ao considerar seção à direita do ponto carregado, o segmento corta o apoio esquerdo e o momento concentrado; o efeito do momento concentrado aparece como adição de M_0:
M(x)=R_A\,x + M_0 = -\frac{M_0}{L}\,x + M_0 = M_0\!\left(1-\frac{x}{L}\right).
Observação: há uma descontinuidade do momento em x=L/2 de magnitude M_0, correspondente ao momento concentrado aplicado.

Passo 4

Equação diferencial da linha elástica e estratégia de solução.
A teoria da flexão em pequenas deformações dá a relação
EI\,\frac{d^2 v}{dx^2}=M(x),
onde v(x) é a deflexão vertical (positiva para baixo, convenção a escolher) e M(x) é o momento fletor interno. Vou usar essa forma direta; cada integração introduz constantes que serão determinadas pelas condições de contorno e continuidade.
Para facilitar a álgebra e deixar a equação adimensional, introduzo a variável adimensional
\xi=\frac{x}{L}
e a função adimensional
g(\xi)\quad\text{tal que}\quad v(x)=\frac{M_0 L^2}{EI}\,g(\xi).
Essa escolha é prática porque, substituindo, simplifica a equação para
g''(\xi)=\frac{M(x)}{M_0},
onde g'' indica derivada segunda em relação a \xi. Assim obtemos uma ODE independente de L para g.

Passo 5

Escrever as equações para g''(\xi) nas duas regiões (usando M(x) já encontrado):
  • Para 0\le \xi<\tfrac{1}{2} ( x<L/2):
g''(\xi)=\frac{M(x)}{M_0}=-\xi.
  • Para \tfrac{1}{2}<\xi\le1 ( x>L/2):
g''(\xi)=\frac{M(x)}{M_0}=1-\xi.
Agora integramos essas equações duas vezes em cada região, introduzindo constantes de integração.

Passo 6

Integrar em 0\le \xi\le \tfrac{1}{2}.
Integrando g''(\xi)=-\xi:
g'(\xi)=-\frac{\xi^2}{2}+A,
onde A é constante de integração. Integrando novamente:
g(\xi)=-\frac{\xi^3}{6}+A\xi+B.
Condição natural: v(0)=0\Rightarrow g(0)=0 implica B=0. Logo, para 0\le\xi\le\tfrac{1}{2}:
g(\xi)=-\frac{\xi^3}{6}+A\xi.

Passo 7

Integrar em \tfrac{1}{2}\le \xi\le 1.
Integrando g''(\xi)=1-\xi:
g'(\xi)=\xi-\frac{\xi^2}{2}+C,
g(\xi)=\frac{\xi^2}{2}-\frac{\xi^3}{6}+C\xi+D,
com constantes C,D. Condição v(L)=0\Rightarrow g(1)=0 fornece:
g(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+C+D=\frac{1}{3}+C+D=0 \quad\Rightarrow\quad C+D=-\frac{1}{3}.

Passo 8

Impor continuidade da deflexão em \xi=\tfrac{1}{2} e a descontinuidade apropriada da derivada em \xi=\tfrac{1}{2} causada pelo momento concentrado.
  • Continuidade de g em \xi=\tfrac{1}{2}:
g\!\left(\tfrac{1}{2}^-\right)=g\!\left(\tfrac{1}{2}^+\right).
Calcule:
g\!\left(\tfrac{1}{2}^-\right)=-\frac{(1/2)^3}{6}+A\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{48}+\frac{A}{2},
g\!\left(\tfrac{1}{2}^+\right)=\frac{(1/2)^2}{2}-\frac{(1/2)^3}{6}+C\cdot\frac{1}{2}+D=\frac{5}{48}+\frac{C}{2}+D.
Igualando e rearranjando:
A - C - 2D = \frac{1}{4}.
  • Salto na derivada g' em \xi=\tfrac{1}{2} devido ao momento concentrado: pelo procedimento de representação adimensional (e pela integração da equação com o termo singular correspondente ao momento concentrado), obtém-se o salto adimensional unitário
g'\!\left(\tfrac{1}{2}^+\right)-g'\!\left(\tfrac{1}{2}^-\right)=1.
(Caso curioso: esta igualdade resulta da escolha de escala v=(M_0L^2/EI)g(\xi); com essa escala o salto adimensional fica exatamente 1.)
Calcule g' nos dois lados:
g'\!\left(\tfrac{1}{2}^-\right)=-\frac{(1/2)^2}{2}+A=-\frac{1}{8}+A,
g'\!\left(\tfrac{1}{2}^+\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}+C=\frac{3}{8}+C.
A condição de salto dá:
\left(\frac{3}{8}+C\right)-\left(-\frac{1}{8}+A\right)=1 \quad\Rightarrow\quad C - A = \frac{1}{2}.

Passo 9

Resolver o sistema linear para [A,C,D).
Temos as três equações:
\begin{cases} C+D=-\dfrac{1}{3},\\[4pt] A - C - 2D = \dfrac{1}{4},\\[4pt] C - A = \dfrac{1}{2}. \end{cases}
Da terceira equação A=C-\tfrac{1}{2}\]. Substituindo na segunda: \[(C-\tfrac{1}{2})-C-2D=\tfrac{1}{4}\\ \Rightarrow\\\ -\tfrac{1}{2}-2D=\tfrac{1}{4} \\ \Rightarrow\\\ -2D=\tfrac{3}{4}\\ \Rightarrow\\ D=-\tfrac{3}{8}.\] Usando primeira equação \(C + D = -\tfrac{1}{3}:
C - \tfrac{3}{8} = -\tfrac{1}{3}\\ \Rightarrow\\ C = -\tfrac{1}{3} + \tfrac{3}{8} = \tfrac{1}{24}.
Finalmente A=C-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{24}-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{11}{24}.]

Passo 10

Escrever g(\xi) com as constantes encontradas e voltar à variável física x.
Para 0\le \xi\le \tfrac{1}{2} (isto é 0\le x\le L/2):
g(\xi)=-\frac{\xi^3}{6}+A\xi \quad\text{com }A=-\frac{11}{24},
logo
g(\xi)=-\frac{\xi^3}{6}-\frac{11}{24}\xi.
Voltando a v(x)=\dfrac{M_0 L^2}{EI}\,g(\xi) e \xi=\dfrac{x}{L}:
v(x)=\frac{M_0 L^2}{EI}\!\left(-\frac{1}{6}\Big(\frac{x}{L}\Big)^3-\frac{11}{24}\frac{x}{L}\right).
Simplificando:
v(x)=-\frac{M_0}{24\,EI\,L}\big(4x^3+11L^2x\big), \qquad 0\le x\le \frac{L}{2}.
Para \tfrac{1}{2}\le \xi\le 1 (isto é L/2\le x\le L):
g(\xi)=\frac{\xi^2}{2}-\frac{\xi^3}{6}+C\xi+D, \quad\text{com }C=\frac{1}{24},\\ D=-\frac{3}{8}.
Voltando a v(x):
v(x)=\frac{M_0 L^2}{EI}\!\left(\frac{1}{2}\Big(\frac{x}{L}\Big)^2-\frac{1}{6}\Big(\frac{x}{L}\Big)^3+\frac{1}{24}\frac{x}{L}-\frac{3}{8}\right).
Pode-se reorganizar esta expressão (ou usar a forma simétrica em função de L-x). Uma forma simétrica e compacta para a região direita é:
v(x)=-\frac{M_0}{24\,EI\,L}\big(4(L-x)^3+11L^2(L-x)\big), \qquad \frac{L}{2}\le x\le L,
o que é equivalente à expressão obtida diretamente pela substituição acima.

Passo 11

Interpretações e verificação rápida (coisas para checar na prova):
  • Em x=0 e x=L tem-se v=0 (condições de apoio), como exigido.
  • Em x=L/2 a deflexão vale \;v(L/2)=-\dfrac{M_0L^2}{4EI}\; (obtido substituindo x=L/2); a rampa de curva e a simetria entre as duas metades estão presentes.
  • As expressões são polinomiais de grau três em x, coerente com integrações sucessivas de um momento linear em x.

Resposta

\boxed{\,v(x)=-\dfrac{M_0}{24\,EI\,L}\big(4x^3+11L^2x\big),\qquad 0\le x\le \dfrac{L}{2}\,}
\boxed{\,v(x)=-\dfrac{M_0}{24\,EI\,L}\big(4(L-x)^3+11L^2(L-x)\big),\qquad \dfrac{L}{2}< x\le L\,}

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