Determine as equações da linha elástica para a viga utilizando as coordenadas x . que é válida para 0 \leq x \leq \frac{L}{2} \mathrm{e} \frac{L}{2}<x \leq L. EI é constante.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as equações da linha elástica (a deflexão vertical v(x)) da viga simplesmente apoiada de comprimento L submetida a um momento concentrado M_0 aplicado no meio da viga. Devem ser dadas as expressões para as duas regiões:
\,0 \le x \le \dfrac{L}{2}\,
\dfrac{L}{2} < x \le L.
Informações dadas (retiradas do enunciado / figura):
comprimento total da viga: L;
momento concentrado aplicado no meio: M_0 (no ponto x=L/2);
rigidez à flexão constante: EI (constante ao longo da viga);
coordenada x medida a partir do apoio esquerdo A, isto é x=0 em A e x=L em B;
apoios simples (não engastados) em A e B.
O que precisamos encontrar:
as fórmulas v(x) (linha elástica) válidas em cada intervalo acima, usando x, L, M_0 e EI.
Passo 2
Determinar a força de reação nos apoios e o diagrama de momento fletor (informação necessária para escrever M(x)).
Equilíbrio das forças verticais:
\sum F_y = 0 \quad\Rightarrow\quad R_A + R_B = 0.
Equilíbrio de momentos em relação ao apoio esquerdo (x=0):
Interpretação rápida: as reações são de mesma magnitude e sentidos opostos; isso é típico quando aplicamos um momento puro no interior de uma viga simplesmente apoiada: as forças reativas se ajustam para garantir equilíbrio.
Passo 3
Escrever o momento fletor M(x) interno em cada região (considerando as reações e o momento concentrado):
Para 0\le x < \dfrac{L}{2}: o corte entre 0 e x não inclui o momento concentrado, logo o momento interno é apenas devido a R_A:
M(x)=R_A\,x = -\frac{M_0}{L}\,x.
Para \dfrac{L}{2} < x \le L: ao considerar seção à direita do ponto carregado, o segmento corta o apoio esquerdo e o momento concentrado; o efeito do momento concentrado aparece como adição de M_0:
Observação: há uma descontinuidade do momento em x=L/2 de magnitude M_0, correspondente ao momento concentrado aplicado.
Passo 4
Equação diferencial da linha elástica e estratégia de solução.
A teoria da flexão em pequenas deformações dá a relação
EI\,\frac{d^2 v}{dx^2}=M(x),
onde v(x) é a deflexão vertical (positiva para baixo, convenção a escolher) e M(x) é o momento fletor interno. Vou usar essa forma direta; cada integração introduz constantes que serão determinadas pelas condições de contorno e continuidade.
Para facilitar a álgebra e deixar a equação adimensional, introduzo a variável adimensional
Salto na derivada g' em \xi=\tfrac{1}{2} devido ao momento concentrado: pelo procedimento de representação adimensional (e pela integração da equação com o termo singular correspondente ao momento concentrado), obtém-se o salto adimensional unitário
o que é equivalente à expressão obtida diretamente pela substituição acima.
Passo 11
Interpretações e verificação rápida (coisas para checar na prova):
Em x=0 e x=L tem-se v=0 (condições de apoio), como exigido.
Em x=L/2 a deflexão vale \;v(L/2)=-\dfrac{M_0L^2}{4EI}\; (obtido substituindo x=L/2); a rampa de curva e a simetria entre as duas metades estão presentes.
As expressões são polinomiais de grau três em x, coerente com integrações sucessivas de um momento linear em x.