Determine por inspeção A^{2}, A^{-3}, A^{K}
A=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\\\ 0 & -4 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular por inspeção as potências A^{2}, A^{-3} e a potência genérica A^{K}, sabendo que
A=\begin{pmatrix} -2 & 0 & 0\\\\ 0 & -4 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
O conteúdo é o de potências e inversas de matrizes diagonais.

Passo 2

Para qualquer matriz diagonal
D = \begin{pmatrix} d_{1} & 0 & 0\\\\ 0 & d_{2} & 0\\\\ 0 & 0 & d_{3} \end{pmatrix},
valem as propriedades:
  1. D^{n} é diagonal cujos elementos são d_{1}^{n},d_{2}^{n},d_{3}^{n}.
  2. Se todos d_{i}\neq 0, então D^{-n} existe e é diagonal com elementos d_{1}^{-n},d_{2}^{-n},d_{3}^{-n}.
No nosso caso, basta elevar cada entrada diagonal de A à potência desejada.

Passo 3

Calcular A^{2}:
A^{2}=\begin{pmatrix} (-2)^{2} & 0 & 0\\\\ 0 & (-4)^{2} & 0\\\\ 0 & 0 & 3^{2} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\\\ 0 & 16 & 0\\\\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular A^{-3}:
A^{-3}=\begin{pmatrix} (-2)^{-3} & 0 & 0\\\\ 0 & (-4)^{-3} & 0\\\\ 0 & 0 & 3^{-3} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{8} & 0 & 0\\\\ 0 & -\tfrac{1}{64} & 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac{1}{27} \end{pmatrix}.

Passo 5

Calcular a potência genérica A^{K}:
A^{K} =\begin{pmatrix} (-2)^{K} & 0 & 0\\\\ 0 & (-4)^{K} & 0\\\\ 0 & 0 & 3^{K} \end{pmatrix}.

Resposta

A^{2}=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\\\ 0 & 16 & 0\\\\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix},\quad A^{-3}=\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{8} & 0 & 0\\\\ 0 & -\tfrac{1}{64} & 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac{1}{27} \end{pmatrix},\quad A^{K}=\begin{pmatrix} (-2)^{K} & 0 & 0\\\\ 0 & (-4)^{K} & 0\\\\ 0 & 0 & 3^{K} \end{pmatrix}.

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