Determine
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral imprópria
Informações dadas e observações iniciais:
- A função
é contínua em , logo a impropriedade vem só do limite superior infinito. - Queremos um valor exato fechado (número envolvendo constantes conhecidas:
, , logaritmo, etc.). - Não há figura nem outro dado faltando.
Passo 2
Vamos começar fatorando o denominador
em quadráticos reais. Uma identidade útil é
Essa fatoração é verificada expandindo os fatores ou lembrando que as raízes complexas de
levam a esses quadráticos conjugados reais.
Passo 3
Aplicamos frações parciais. Escrevemos
e multiplicamos ambos os lados por
Expandindo e igualando coeficientes (scannando os termos em
) obtemos o sistema
Da primeira equação
vemos que
. Da quarta obtemos
e
. Substituindo na segunda equação:
Portanto a decomposição é
Passo 4
Vamos integrar termo a termo. Começamos com
Complete o quadrado no denominador:
Faça a mudança
, então
e
. O numerador vira
Assim
Usamos as primitivas conhecidas:
Aqui
, logo
. Aplicando:
ou, voltando a
,
Passo 5
Agora o segundo termo:
Analogamente complete o quadrado
e faça
. Repetindo o mesmo procedimento (note a simetria) obtemos
Somando
temos uma primitiva
de
:
Passo 6
Agora calculamos a integral imprópria como limite:
Avalie
quando
:
- O termo logarítmico tende a zero porque
e o quociente tende a . - As funções arctan tendem a
(argumentos → ), logo
Agora calcule
. Primeiro o logaritmo:
portanto
Para as arctangentes usamos as identidades notáveis
logo
Assim
Portanto a integral vale
Simplificando termos com
e fatorando
obtemos