Resolva os problemas de valores iniciais abaixo:
\left\{\begin{array}{l}49 y^{\prime \prime}+42 y^{\prime}+9 y=0 \\\ y(0)=4 \\\ y^{\prime}(0)=-5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial com condições iniciais:
\left\{\begin{array}{l} 49\,y''+42\,y'+9\,y=0,\\[4pt] y(0)=4,\\[4pt] y'(0)=-5. \end{array}\right.
Informações dadas:
\text{(i) A equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: }49\,y''+42\,y'+9\,y=0.çãê
\text{(ii) Condições iniciais: }y(0)=4\quad\text{e}\quad y'(0)=-5.çõ
O que devemos encontrar: a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.]

Passo 2

Método para resolver esse tipo de equação (explicação didática):
Para uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes da forma
a\,y''+b\,y'+c\,y=0,
procuramos soluções do tipo exponencial y=e^{r x}. Substituindo nessa forma obtém-se o polinômio característico
a r^{2}+b r + c = 0.
As raízes r desse polinômio determinam a forma geral da solução:
  • Se as raízes r_1 e r_2 são distintas e reais, y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}.
  • Se há raiz dupla r (multiplicidade 2), a solução geral é
y=(C_1 + C_2 x)e^{r x}.
Agora aplicamos isso ao nosso caso. O polinômio característico é
49 r^{2}+42 r +9 = 0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = 42^{2}-4\cdot49\cdot9 = 1764-1764 = 0,
ou seja, há raiz dupla. A raiz é
r = \frac{-42}{2\cdot49} = -\frac{42}{98} = -\frac{3}{7}.
Portanto, pela regra da raiz dupla, a solução geral é
y=(C_1 + C_2 x)e^{-\,\frac{3}{7}x}.

Passo 3

Precisamos determinar C_1 e C_2 usando as condições iniciais. Primeiro calculemos a derivada y' de forma detalhada (uso da regra do produto):
Se
y=(C_1 + C_2 x)e^{-\,\frac{3}{7}x},
então aplicando a regra do produto (se u(x)=C_1+C_2 x e v(x)=e^{-3x/7}, então y'=u'v+uv'):
u'(x)=C_2,\qquad v'(x)=e^{-3x/7}\cdot\left(-\frac{3}{7}\right).
Logo
y' = C_2\cdot e^{-\,\frac{3}{7}x} + (C_1 + C_2 x)\cdot e^{-\,\frac{3}{7}x}\cdot\left(-\frac{3}{7}\right).
Fatorando e^{-3x/7}:
y' = e^{-\,\frac{3}{7}x}\left(C_2 - \frac{3}{7}C_1 - \frac{3}{7}C_2 x\right).

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais uma a uma.
Usando y(0)=4:
y(0)=(C_1 + C_2\cdot 0)e^{0}=C_1=4.
Portanto C_1=4.
Usando y'(0)=-5. Substituímos x=0 na expressão de y':
y'(0)=e^{0}\left(C_2 - \frac{3}{7}C_1 - \frac{3}{7}C_2\cdot 0\right)=C_2 - \frac{3}{7}C_1.
Igualando a -5 e substituindo C_1=4:
C_2 - \frac{3}{7}\cdot 4 = -5.
Calculemos passo a passo:
\frac{3}{7}\cdot 4 = \frac{12}{7}.
Então
C_2 - \frac{12}{7} = -5.
Somando \frac{12}{7} em ambos os lados:
C_2 = -5 + \frac{12}{7} = -\frac{35}{7} + \frac{12}{7} = -\frac{23}{7}.

Passo 5

Com C_1=4 e C_2=-\dfrac{23}{7}, a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
y(x)=\left(4 - \frac{23}{7}x\right)e^{-\,\frac{3}{7}x}.
Podemos também escrever de forma equivalente fatorando 1/7:
y(x)=\frac{1}{7}\bigl(28 - 23x\bigr)e^{-\,\frac{3}{7}x}.

Resposta

y(x)=\left(4-\frac{23}{7}x\right)e^{-\,\frac{3}{7}x}

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