O que devemos encontrar: a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.]
Passo 2
Método para resolver esse tipo de equação (explicação didática):
Para uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes da forma
a\,y''+b\,y'+c\,y=0,
procuramos soluções do tipo exponencial y=e^{r x}. Substituindo nessa forma obtém-se o polinômio característico
a r^{2}+b r + c = 0.
As raízes r desse polinômio determinam a forma geral da solução:
Se as raízes r_1 e r_2 são distintas e reais, y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}.
Se há raiz dupla r (multiplicidade 2), a solução geral é
y=(C_1 + C_2 x)e^{r x}.
Agora aplicamos isso ao nosso caso. O polinômio característico é
49 r^{2}+42 r +9 = 0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = 42^{2}-4\cdot49\cdot9 = 1764-1764 = 0,
ou seja, há raiz dupla. A raiz é
r = \frac{-42}{2\cdot49} = -\frac{42}{98} = -\frac{3}{7}.
Portanto, pela regra da raiz dupla, a solução geral é
y=(C_1 + C_2 x)e^{-\,\frac{3}{7}x}.
Passo 3
Precisamos determinar C_1 e C_2 usando as condições iniciais. Primeiro calculemos a derivada y' de forma detalhada (uso da regra do produto):
Se
y=(C_1 + C_2 x)e^{-\,\frac{3}{7}x},
então aplicando a regra do produto (se u(x)=C_1+C_2 x e v(x)=e^{-3x/7}, então y'=u'v+uv'):