Determine as integrais abaixo:
\int \frac{4 x^{5}-4 x^{3}-2 x^{2}+1}{x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{4 x^{5}-4 x^{3}-2 x^{2}+1}{x^{2}+1}\,dx.
Este é um caso de função racional imprópria, pois o grau do numerador (5) é maior que o do denominador (2). Vamos usar divisão de polinômios para escrever a fração como soma de um polinômio e uma fração própria, e em seguida aplicar integrais básicas:
\displaystyle \int x^n\,dx
\displaystyle \int \frac{x}{x^2+1}\,dx
\displaystyle \int \frac{1}{x^2+1}\,dx.

Passo 2

Fazendo a divisão de \displaystyle 4x^{5}-4x^{3}-2x^{2}+1 por \displaystyle x^{2}+1, obtemos o quociente e o resto:
\frac{4x^{5}-4x^{3}-2x^{2}+1}{x^{2}+1} =4x^{3}-8x-2 +\frac{8x+3}{x^{2}+1}.

Passo 3

Escrevendo a integral como soma de duas partes:
\int \frac{4x^{5}-4x^{3}-2x^{2}+1}{x^{2}+1}\,dx =\int\bigl(4x^{3}-8x-2\bigr)\,dx +\int\frac{8x+3}{x^{2}+1}\,dx.
A parte polinomial é direta:
\int\bigl(4x^{3}-8x-2\bigr)\,dx = \int 4x^{3}\,dx \;-\;\int 8x\,dx \;-\;\int 2\,dx = x^{4}-4x^{2}-2x + C_{1}.

Passo 4

Agora a fração própria:
  1. \displaystyle \int \frac{8x}{x^{2}+1}\,dx.
    Seja u=x^{2}+1, então du=2x\,dx e
\int \frac{8x}{x^{2}+1}\,dx =4\int\frac{2x}{u}\,dx =4\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C_{2}.
  1. \displaystyle \int \frac{3}{x^{2}+1}\,dx =3\arctan x + C_{3}.

Passo 5

Somando tudo e juntando as constantes num C só, ficamos com
\int \frac{4 x^{5}-4 x^{3}-2 x^{2}+1}{x^{2}+1}\,dx = x^{4} -4x^{2} -2x +4\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) +3\arctan x + C.

Resposta

x^{4} -4x^{2} -2x +4\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) +3\arctan x + C.

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