Determine as integrais abaixo:
\int \frac{2 x^{5}+14 x^{3}-36 x+6}{x^{2}+9} d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral indefinida \displaystyle \int \frac{2x^{5}+14x^{3}-36x+6}{x^{2}+9}\,dx.
O conteúdo aqui é a integração de uma função racional. O truque principal é usar divisão de polinômios para separar uma parte polinomial (fácil de integrar) e uma parte do tipo \tfrac{1}{x^{2}+a^{2}}, cuja primitiva é arctan.

Passo 2

Fazendo a divisão de polinômios
\frac{2x^{5}+14x^{3}-36x+6}{x^{2}+9} =2x^{3}-4x+\frac{6}{x^{2}+9},
vemos que o numerador se decompõe em um quociente 2x^{3}-4x mais o resto 6 sobre x^{2}+9.

Passo 3

Integramos a parte polinomial:
\int\bigl(2x^{3}-4x\bigr)\,dx =\int 2x^{3}\,dx \;-\;\int4x\,dx =\frac{2x^{4}}{4}-\frac{4x^{2}}{2} =\frac{x^{4}}{2}-2x^{2}.

Passo 4

Integramos a parte que ficou sobre x^{2}+9:
\int\frac{6}{x^{2}+9}\,dx =6\int\frac{1}{x^{2}+3^{2}}\,dx =6\cdot\frac{1}{3}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) =2\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr).

Resposta

\frac{x^{4}}{2}-2x^{2}+2\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)+C.

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