Determine as integrais abaixo:
\int \frac{1+x^{2}}{x^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
\int \frac{1 + x^{2}}{x^{2}}\,dx.
O conteúdo é integração de função racional e vamos simplificar o integrando em potências de x para aplicar a regra de potência.

Passo 2

Reescrevemos o integrando termo a termo:
\frac{1 + x^{2}}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} = x^{-2} + 1.

Passo 3

Aplicamos a regra de potência \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1) e a regra de integral de constante:
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = -x^{-1},
\int 1\,dx = x.

Passo 4

Somamos os resultados e acrescentamos a constante de integração C:
\int \frac{1 + x^{2}}{x^{2}}\,dx = -x^{-1} + x + C = x - \frac{1}{x} + C.

Resposta

x - \frac{1}{x} + C

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