Sabendo que a função f(x) satisfaz a igualdade \int_{f\left(\frac{\pi}{4}\right)} f(x) d x=\operatorname{sen} x-x \cdot \cos (x)-\frac{x^{2}}{2}+c, determine f(x).

Passo 1

O enunciado nos dá que uma primitiva de f(x) é
F(x)=\int f(x)\,dx=\sin x - x\cos x - \frac{x^2}{2} + C
e pede f(x). Para isso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que
f(x)=F'(x).

Passo 2

Aplicamos a derivada em cada termo de \sin x - x\cos x - \tfrac{x^2}{2}. Usamos derivada de produto em x\cos x e derivada de potência em \tfrac{x^2}{2}.

Passo 3

Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x,
\frac{d}{dx}[x\cos x]=\cos x - x\sin x,
\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{x^2}{2}\Bigr)=x.
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f(x)=\cos x -\bigl(\cos x - x\sin x\bigr) - x =x\sin x - x.

Resposta

f(x)=x(\sin x - 1).

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