Determine as integrais abaixo:
\int_{-2}^{2}|2 x+2| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{-2}^{2} |2x+2|\;dx. O conteúdo é integração de função com valor absoluto, ou seja, precisamos escrever 2x+2 como função por partes, identificando onde ela muda de sinal.

Passo 2

Encontrar onde 2x+2=0:
2x+2=0\quad\Longrightarrow\quad x=-1.
Logo,
|2x+2|= \begin{cases} -(2x+2),&x< -1,\\\\ 2x+2,&x\ge -1. \end{cases}

Passo 3

Dividimos a integral em dois trechos conforme o sinal:
\int_{-2}^{2}|2x+2|\;dx =\int_{-2}^{-1} -(2x+2)\;dx +\int_{-1}^{2} (2x+2)\;dx.

Passo 4

Uma primitiva de 2x+2 é x^2+2x. Para a primeira parte:
\int_{-2}^{-1} -(2x+2)\;dx =-\bigl[x^2+2x\bigr]_{-2}^{-1} =-\bigl(((-1)^2+2\cdot(-1))-(4+2\cdot(-2))\bigr) =-\bigl((-1)-0\bigr) =1.

Passo 5

Para a segunda parte:
\int_{-1}^{2} (2x+2)\;dx =\bigl[x^2+2x\bigr]_{-1}^{2} =(4+4)-\bigl(1-2\bigr) =8-(-1) =9.

Passo 6

Somando as duas contribuições:
1 + 9 = 10.

Resposta

10

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