Determine as integrais abaixo:
\int \frac{e}{\sqrt{x^{3}}}+5 \sqrt[5]{x^{2}}+\frac{\ln \left(x^{4}\right)}{x \ln (x)}+\pi \cdot \operatorname{cotgh}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função
f(x)=\frac{e}{\sqrt{x^{3}}}+5\sqrt[5]{x^{2}}+\frac{\ln\bigl(x^{4}\bigr)}{x\ln(x)}+\pi\;\operatorname{cotgh}(x).
Vamos usar:
  1. A regra do potência: \displaystyle\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
  2. A simplificação de logaritmos e a primitiva de 1/x.
  3. A primitiva de \coth(x), que é \ln|\operatorname{sinh}(x)|.

Passo 2

Integramos o primeiro termo. Note que
\frac{e}{\sqrt{x^{3}}}=e\,x^{-3/2}.
Pela regra do potência,
\int e\,x^{-3/2}dx =e\int x^{-3/2}dx =e\;\frac{x^{-3/2+1}}{-3/2+1} =e\;\frac{x^{-1/2}}{-1/2} =-2e\,x^{-1/2} =-\frac{2e}{\sqrt{x}}.

Passo 3

Agora o segundo termo:
5\sqrt[5]{x^{2}}=5\,x^{2/5}.
Aplicando a regra do potência,
\int 5\,x^{2/5}dx =5\;\frac{x^{2/5+1}}{2/5+1} =5\;\frac{x^{7/5}}{7/5} =\frac{25}{7}\,x^{7/5}.

Passo 4

O terceiro termo:
\frac{\ln\bigl(x^{4}\bigr)}{x\ln(x)} =\frac{4\ln(x)}{x\ln(x)} =\frac{4}{x}.
Logo,
\int \frac{\ln\bigl(x^{4}\bigr)}{x\ln(x)}dx =\int \frac{4}{x}dx =4\ln\lvert x\rvert.

Passo 5

Por fim, o quarto termo com função hiperbólica:
\int \pi\,\operatorname{cotgh}(x)\,dx =\pi\int \coth(x)\,dx =\pi\,\ln\bigl\lvert\operatorname{sinh}(x)\bigr\rvert.

Resposta

Juntando tudo, a primitiva geral é
-\frac{2e}{\sqrt{x}} +\frac{25}{7}\,x^{7/5} +4\ln\lvert x\rvert +\pi\,\ln\bigl\lvert\operatorname{sinh}(x)\bigr\rvert +C.

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