Determine quais das integrais impróprias a seguir são convergentes.
\int_{-\infty}^{-1} \frac{e^{x}}{x^{3}} d x;

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se a integral imprópria
\int_{-\infty}^{-1} \frac{e^{x}}{x^{3}}\,dx
é convergente ou divergente.\n
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função integranda é f(x)=\dfrac{e^{x}}{x^{3}}.\n
  • O intervalo de integração é (-\infty,-1]. Portanto há uma impropriedade na extremidade inferior x\to -\infty.\n
  • A função f é contínua em qualquer intervalo do tipo [a,-1] com a< -1. Não há singularidade em (- \infty,-1] causada por x=0, pois 0 não pertence ao intervalo de integração.\n
    A partir daqui vamos decidir se a integral converge e, se possível, mostrar se converge absolutamente (o que é mais forte).

Passo 2

Definição precisa da integral imprópria: interpretamos
\int_{-\infty}^{-1} \frac{e^{x}}{x^{3}}\,dx
como o limite
\lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{-1}\frac{e^{x}}{x^{3}}\,dx.
Para testar convergência é suficiente analisar esse limite. Uma estratégia prática é verificar a convergência absoluta, isto é, estudar
\int_{-\infty}^{-1}\left|\frac{e^{x}}{x^{3}}\right|\,dx.
Se essa integral absoluta for finita, então a integral original converge (porque convergência absoluta implica convergência).

Passo 3

Calcular a expressão do valor absoluto e simplificar no intervalo considerado. Para x\le -1 temos |x|=-x (porque x é negativo). Assim
\left|\frac{e^{x}}{x^{3}}\right|=\frac{e^{x}}{|x|^{3}}=\frac{e^{x}}{(-x)^{3}}.
Agora observe que, para x\le -1, tem-se (-x)\ge 1, logo (-x)^{3}\ge 1. Portanto
\frac{1}{(-x)^{3}}\le 1,
e assim, para todo x\le -1,
0\le \left|\frac{e^{x}}{x^{3}}\right|\le e^{x}.

Passo 4

Aplicar o teste de comparação com a função g(x)=e^{x}. Primeiro calculemos a integral de g no mesmo intervalo:
\int_{-\infty}^{-1} e^{x}\,dx=\lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{-1} e^{x}\,dx =\lim_{a\to -\infty}\bigl[e^{x}\bigr]_{x=a}^{x=-1} =\lim_{a\to -\infty}\bigl(e^{-1}-e^{a}\bigr).
Como \lim_{a\to -\infty}e^{a}=0, segue que
\int_{-\infty}^{-1} e^{x}\,dx=e^{-1},
que é um número finito.

Passo 5

Conclusão pela comparação: temos 0\le \left|\dfrac{e^{x}}{x^{3}}\right|\le e^{x} para todo x\le -1 e \int_{-\infty}^{-1} e^{x}\,dx é finita. Pelo teste de comparação para integrais impróprias, isso implica que
\int_{-\infty}^{-1}\left|\frac{e^{x}}{x^{3}}\right|\,dx
converge. Portanto a integral dada converge absolutamente. Como convergência absoluta implica convergência, concluímos que a integral original converge.

Passo 6

Resumo didático rápido (para levar à prova): quando você vê uma integral no infinito com fator e^{x} e uma potência de x no denominador mas com x ficando negativo grande, compare o módulo com e^{x} porque e^{x} decai muito rápido. Aqui usamos que, para x\le-1, \dfrac{1}{(-x)^{3}}\le 1, então |f(x)|\le e^{x} e como \int_{-\infty}^{-1}e^{x}\,dx é finita, a sua integral é absolutamente convergente — fórmula simples, rápida e segura na prova. Força aí, você consegue!

Resposta

\displaystyle \int_{-\infty}^{-1} \frac{e^{x}}{x^{3}}\,dx é convergente (converge absolutamente).

Exercícios relacionados