Determine quais das integrais impróprias a seguir são convergentes. \int_{-\infty}^{-1} \frac{e^{x}}{x^{3}} d x;
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se a integral imprópria
\int_{-\infty}^{-1} \frac{e^{x}}{x^{3}}\,dx
é convergente ou divergente.\n
Informações dadas e observações iniciais:
A função integranda é f(x)=\dfrac{e^{x}}{x^{3}}.\n
O intervalo de integração é (-\infty,-1]. Portanto há uma impropriedade na extremidade inferior x\to -\infty.\n
A função f é contínua em qualquer intervalo do tipo [a,-1] com a< -1. Não há singularidade em (- \infty,-1] causada por x=0, pois 0 não pertence ao intervalo de integração.\n
A partir daqui vamos decidir se a integral converge e, se possível, mostrar se converge absolutamente (o que é mais forte).
Passo 2
Definição precisa da integral imprópria: interpretamos
Conclusão pela comparação: temos 0\le \left|\dfrac{e^{x}}{x^{3}}\right|\le e^{x} para todo x\le -1 e \int_{-\infty}^{-1} e^{x}\,dx é finita. Pelo teste de comparação para integrais impróprias, isso implica que
converge. Portanto a integral dada converge absolutamente. Como convergência absoluta implica convergência, concluímos que a integral original converge.
Passo 6
Resumo didático rápido (para levar à prova): quando você vê uma integral no infinito com fator e^{x} e uma potência de x no denominador mas com x ficando negativo grande, compare o módulo com e^{x} porque e^{x} decai muito rápido. Aqui usamos que, para x\le-1, \dfrac{1}{(-x)^{3}}\le 1, então |f(x)|\le e^{x} e como \int_{-\infty}^{-1}e^{x}\,dx é finita, a sua integral é absolutamente convergente — fórmula simples, rápida e segura na prova. Força aí, você consegue!
Resposta
\displaystyle \int_{-\infty}^{-1} \frac{e^{x}}{x^{3}}\,dx é convergente (converge absolutamente).