Calcular as seguintes integrais:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações úteis que o enunciado nos dá (ou que podemos observar imediatamente):
O numerador tem grau menor que o denominador (grau
contra grau
), e o denominador é o polinômio
Passo 2
Fatorar o denominador é a primeira ação natural para raciocinar sobre esse tipo de integral. Vamos fatorar
Procuramos dois números cujo produto seja
(termo constante) e cuja soma seja
(coeficiente de
). Esses números são
e
. Portanto
Agora sabemos que o denominador se decompõe em fatores lineares distintos, o que sugere usar decomposição em frações parciais.
Passo 3
Explicando a ideia da decomposição em frações parciais (curta aula): quando temos uma fração racional cujo denominador é produto de fatores lineares distintos, ou seja
podemos escrever essa fração como soma de termos do tipo
. Cada termo é fácil de integrar porque
pois a derivada de
é
. No nosso caso, com denominador
, vamos procurar constantes
e
tais que
Passo 4
Determinar
Desenvolvendo o lado direito:
Igualando coeficientes de
e termo constante temos o sistema linear
Da primeira equação (A=1-B]. Substituindo na segunda:
Então
]
Então
Passo 5
Com
e
a decomposição ficou
Agora integramos termo a termo:
Passo 6
Usando a fórmula básica que já comentamos,
temos
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Verificação rápida por derivação (para garantir que não houve erro): derivando
obtém-se
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.