Calcular as seguintes integrais:
\int \frac{x-5}{x^{2}-x-2} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x-5}{x^{2}-x-2}\,dx.
Informações úteis que o enunciado nos dá (ou que podemos observar imediatamente):
\text{o integrando é uma função racional: }\frac{x-5}{x^{2}-x-2}.éçã
O numerador tem grau menor que o denominador (grau 1 contra grau 2), e o denominador é o polinômio
x^{2}-x-2.

Passo 2

Fatorar o denominador é a primeira ação natural para raciocinar sobre esse tipo de integral. Vamos fatorar
x^{2}-x-2.
Procuramos dois números cujo produto seja -2 (termo constante) e cuja soma seja -1 (coeficiente de x). Esses números são -2 e 1. Portanto
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
Agora sabemos que o denominador se decompõe em fatores lineares distintos, o que sugere usar decomposição em frações parciais.

Passo 3

Explicando a ideia da decomposição em frações parciais (curta aula): quando temos uma fração racional cujo denominador é produto de fatores lineares distintos, ou seja
\frac{\text{polinômio de grau menor}}{(x-a)(x-b)\cdots},ô
podemos escrever essa fração como soma de termos do tipo \dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}+\cdots. Cada termo é fácil de integrar porque
\int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C,
pois a derivada de \ln|x-a| é \dfrac{1}{x-a}. No nosso caso, com denominador (x-2)(x+1), vamos procurar constantes A e B tais que
\frac{x-5}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}.

Passo 4

Determinar A\) e \(B\). Multiplicando ambos os lados por \((x-2)(x+1)\) obtemos a identidade polinomial \[x-5 = A(x+1)+B(x-2).
Desenvolvendo o lado direito:
x-5 = (A+B)x + (A-2B).
Igualando coeficientes de x e termo constante temos o sistema linear
\begin{cases} A+B=1,\\[4pt] A-2B=-5. \end{cases}
Da primeira equação (A=1-B]. Substituindo na segunda:
(1-B)-2B=-5 \quad\Rightarrow\quad 1-3B=-5 \quad\Rightarrow\quad -3B=-6 \quad\Rightarrow\quad B=2.
Então
A=1-B=1-2=-1.]

Passo 5

Com A=-1 e B=2 a decomposição ficou
\frac{x-5}{x^{2}-x-2}=\frac{-1}{x-2}+\frac{2}{x+1}.
Agora integramos termo a termo:
\int \frac{x-5}{x^{2}-x-2}\,dx = \int \left(\frac{-1}{x-2}+\frac{2}{x+1}\right)\,dx.

Passo 6

Usando a fórmula básica que já comentamos,
\int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C,
temos
\int \left(\frac{-1}{x-2}+\frac{2}{x+1}\right)\,dx = -\ln|x-2| + 2\ln|x+1| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Verificação rápida por derivação (para garantir que não houve erro): derivando
-\ln|x-2| + 2\ln|x+1|
obtém-se
-\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x+1}=\frac{- (x+1) + 2(x-2)}{(x-2)(x+1)}=\frac{x-5}{x^{2}-x-2},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-\ln|x-2| + 2\ln|x+1| + C

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