Determine as integrais a seguir, encontrando o método mais adequado para resolver:
\int \frac{x^{2}}{\left(a^{2}-x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{2}}{\bigl(a^{2}-x^{2}\bigr)^{3/2}}\,dx
Este é um caso clássico de integral envolvendo raiz do tipo \sqrt{a^{2}-x^{2}}. O método mais adequado é a substituição trigonométrica x = a\sin\theta, pois transforma \sqrt{a^{2}-x^{2}} em expressão em cosseno.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = a\sin\theta, \quad dx = a\cos\theta\,d\theta, \quad \sqrt{a^{2}-x^{2}} = a\cos\theta,
temos
(a^{2}-x^{2})^{3/2} = \bigl(a\cos\theta\bigr)^{3} = a^{3}\cos^{3}\theta,
e o numerador vira
x^{2} = a^{2}\sin^{2}\theta.
Logo a integral original torna-se
\int \frac{a^{2}\sin^{2}\theta}{a^{3}\cos^{3}\theta}\,\bigl(a\cos\theta\,d\theta\bigr) = \int \frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}\,d\theta = \int \tan^{2}\theta\,d\theta.

Passo 3

Usamos a identidade \tan^{2}\theta = \operatorname{sec}^{2}\theta -1. Assim,
\int \tan^{2}\theta\,d\theta = \int \bigl(\operatorname{sec}^{2}\theta - 1\bigr)\,d\theta = \tan\theta - \theta + C.

Passo 4

Voltemos à variável x. Da substituição x = a\sin\theta segue
\sin\theta = \frac{x}{a}, \quad \cos\theta = \frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a}, \quad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}},
e
\theta = \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr).
Substituindo em \tan\theta - \theta, obtemos a antiderivada em x:
\frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} - \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr) + C.

Resposta

\int \frac{x^{2}}{\bigl(a^{2}-x^{2}\bigr)^{3/2}}\,dx = \frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} - \arcsin\!\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr) + C.

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