Determine as integrais a seguir, encontrando o método mais adequado para resolver:
\int x^{4} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \quad(a>0)

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
\int x^{4}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\;dx\quad(a>0).
Este é um caso clássico de substituição trigonométrica: vamos usar
\;x = a\sin\theta,
pois isso torna \sqrt{a^{2}-x^{2}}=a\cos\theta e toda a expressão em senos e cossenos.

Passo 2

Fazendo a troca
\;x = a\sin\theta,\qquad dx = a\cos\theta\,d\theta,\qquad \sqrt{a^{2}-x^{2}} = a\cos\theta,
temos
x^{4}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\;dx = (a\sin\theta)^{4}\,(a\cos\theta)\,(a\cos\theta\,d\theta) = a^{6}\,\sin^{4}\theta\,\cos^{2}\theta\;d\theta.

Passo 3

Precisamos calcular
\int \sin^{4}\theta\,\cos^{2}\theta\;d\theta.
Use as fórmulas de redução de potência:
\sin^{4}\theta = \frac{3 - 4\cos2\theta + \cos4\theta}{8}, \qquad \cos^{2}\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}.
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\sin^{4}\theta\,\cos^{2}\theta = \frac{3 - 4\cos2\theta + \cos4\theta}{8} \;\cdot\; \frac{1+\cos2\theta}{2} = \frac{1}{16}\Bigl(1 - \tfrac12\cos2\theta - \cos4\theta + \tfrac12\cos6\theta\Bigr).

Passo 4

Integrando termo a termo,
\int \sin^{4}\theta\,\cos^{2}\theta\,d\theta = \int \Bigl(\tfrac1{16} - \tfrac1{32}\cos2\theta - \tfrac1{16}\cos4\theta + \tfrac1{32}\cos6\theta\Bigr)d\theta
= \frac{\theta}{16} - \frac{\sin2\theta}{64} - \frac{\sin4\theta}{64} + \frac{\sin6\theta}{192} + C.
Multiplicando por a^{6}, a primitiva em \theta fica
a^{6}\Bigl(\frac{\theta}{16} - \frac{\sin2\theta}{64} - \frac{\sin4\theta}{64} + \frac{\sin6\theta}{192}\Bigr)+C.

Passo 5

Volte a variável x usando \sin\theta = \tfrac{x}{a}, \cos\theta=\tfrac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a} e \theta=\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr). Após simplificar, obtém-se
\int x^{4}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx = \frac{a^{6}}{16}\,\arcsin\!\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr) \;+\;\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{48}\,\Bigl(-3a^{4}x-2a^{2}x^{3}+8x^{5}\Bigr) + C.

Resposta

\boxed{ \int x^{4}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx = \frac{a^{6}}{16}\,\arcsin\!\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr) \;+\;\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,\bigl(-3a^{4}x-2a^{2}x^{3}+8x^{5}\bigr)}{48} + C. }

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