Determine o interpolador de Lagrange para a função discretizada e calcule f(x=2) :
Xi \mathrm{Yi}=\mathrm{f}(\mathrm{Xi})
0 2
1 4
3 0
4 1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Determinar o interpolador de Lagrange (o polinômio interpolador) para os pontos dados.
    2. Calcular f(x=2) usando esse interpolador.
  • Os pontos fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado) são:
    • (x_0,y_0) = (0,2).
    • (x_1,y_1) = (1,4).
    • (x_2,y_2) = (3,0).
    • (x_3,y_3) = (4,1).
A partir desses quatro pontos queremos o polinômio de grau máximo 3 que interpola os pontos (polinômio de Lagrange) e, com ele, obter o valor em x=2.

Passo 2

Apresento a fórmula do interpolador de Lagrange e explico o que cada parte significa (aula curta).
  • Fórmula geral: para pontos (x_i,y_i) com i=0,\dots,n, o polinômio de Lagrange é
P(x)=\sum_{i=0}^{n} y_i\,L_i(x),
onde cada polinômio base L_i(x) é
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\ne i}}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
  • Interpretação: L_i(x) é um polinômio que vale 1 em x=x_i e 0 em x=x_j para j\ne i. Assim P(x_i)=y_i, garantindo a interpolação.
  • No nosso caso n=3. Vamos construir L_0,L_1,L_2,L_3 usando os x_i fornecidos.

Passo 3

Calculo os denominadores e escrevo explicitamente cada L_i(x) (faça igual na prova: calcule denominadores primeiro para evitar erros).
  • Para i=0 com x_0=0:
    L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)} =\frac{(x-1)(x-3)(x-4)}{(0-1)(0-3)(0-4)}.
    Denominador: (0-1)(0-3)(0-4)=(-1)(-3)(-4)=-12.
    Logo
    L_0(x)=-\frac{1}{12}(x-1)(x-3)(x-4).
  • Para i=1 com x_1=1:
    L_1(x)=\frac{(x-0)(x-3)(x-4)}{(1-0)(1-3)(1-4)} =\frac{x(x-3)(x-4)}{(1)(-2)(-3)}=\frac{x(x-3)(x-4)}{6}.
  • Para i=2 com x_2=3:
    L_2(x)=\frac{(x-0)(x-1)(x-4)}{(3-0)(3-1)(3-4)} =\frac{x(x-1)(x-4)}{(3)(2)(-1)}=-\frac{1}{6}x(x-1)(x-4).
  • Para i=3 com x_3=4:
    L_3(x)=\frac{(x-0)(x-1)(x-3)}{(4-0)(4-1)(4-3)} =\frac{x(x-1)(x-3)}{(4)(3)(1)}=\frac{x(x-1)(x-3)}{12}.

Passo 4

Construo o polinômio interpolador P(x) somando y_i L_i(x). Lembre que y_2=0, então o termo com L_2 some.
P(x)=y_0L_0(x)+y_1L_1(x)+y_2L_2(x)+y_3L_3(x).
Substituindo os y_i e os L_i:
P(x)=2\left(-\frac{1}{12}(x-1)(x-3)(x-4)\right) +4\left(\frac{x(x-3)(x-4)}{6}\right) +0\cdot\left(-\frac{1}{6}x(x-1)(x-4)\right) +1\left(\frac{x(x-1)(x-3)}{12}\right).

Passo 5

Simplifico termo a termo (aqui mostro as contas para poder escrever o polinômio em forma expandida; isso é útil na prova para verificar).
  • Primeiro termo:
    2\left(-\frac{1}{12}(x-1)(x-3)(x-4)\right) = -\frac{1}{6}(x-1)(x-3)(x-4).
    Expando (x-1)(x-3)(x-4). Primeiro (x-1)(x-3)=x^2-4x+3. Multiplicando por (x-4)
    (x^2-4x+3)(x-4)=x^3-8x^2+19x-12.
    Então o primeiro termo é
    -\frac{1}{6}\bigl(x^3-8x^2+19x-12\bigr)=\frac{-x^3+8x^2-19x+12}{6}.
  • Segundo termo:
    4\left(\frac{x(x-3)(x-4)}{6}\right)=\frac{4}{6}x(x-3)(x-4)=\frac{2}{3}x(x-3)(x-4).
    Expando x(x-3)(x-4). Primeiro (x-3)(x-4)=x^2-7x+12. Multiplicando por x x^3-7x^2+12x.
    Então o segundo termo é
    \frac{2}{3}\bigl(x^3-7x^2+12x\bigr)=\frac{4x^3-28x^2+48x}{6}.
  • Quarto termo (terceiro não contribui porque y_2=0):
    \frac{x(x-1)(x-3)}{12}.
    Expando (x-1)(x-3)=x^2-4x+3. Multiplicando por x x^3-4x^2+3x.
    Então o quarto termo é
    \frac{x^3-4x^2+3x}{12}.
Agora somo tudo usando denominador comum 12 (para evitar erros):
  • Primeiro termo em /12: multiply numerator and denom by 2: \frac{-2x^3+16x^2-38x+24}{12}.
  • Segundo termo in /12: multiply numerator by 2: \frac{8x^3-56x^2+96x}{12}.
  • Quarto termo is already /12: \frac{x^3-4x^2+3x}{12}.
Somando numeradores:
(-2x^3+16x^2-38x+24)+(8x^3-56x^2+96x)+(x^3-4x^2+3x).
Combine coeficientes:
  • x^3:\\\ -2+8+1=7.
  • x^2:\\\ 16-56-4=-44.
  • x:\\\ -38+96+3=61.
  • constante: 24.
Logo o numerador é 7x^3-44x^2+61x+24. Portanto
P(x)=\frac{7x^3-44x^2+61x+24}{12}.

Passo 6

Faço uma verificação rápida (sempre bom na prova): avalio P(x) nos nós para checar se recupera os y_i.
  • P(0)=\dfrac{24}{12}=2 OK.
  • P(1)=\dfrac{7-44+61+24}{12}=\dfrac{48}{12}=4 OK.
  • P(3)=\dfrac{7\cdot27-44\cdot9+61\cdot3+24}{12}=\dfrac{189-396+183+24}{12}=\dfrac{0}{12}=0 OK.
  • P(4)=\dfrac{7\cdot64-44\cdot16+61\cdot4+24}{12}=\dfrac{448-704+244+24}{12}=\dfrac{12}{12}=1 OK.
As verificações batem, então a expansão está correta.

Passo 7

Agora calculo f(2)=P(2). Posso usar a forma expandida ou avaliar usando os L_i(2) (ambas dão o mesmo resultado). Vou mostrar as duas maneiras rápidas:
  • Usando os L_i(2) (método direto e rápido na prova): L_0(2)=-\frac{1}{12}(2-1)(2-3)(2-4)=-\frac{1}{12}\cdot 1\cdot(-1)\cdot(-2)=-\frac{1}{6}.
L_1(2)=\frac{2(2-3)(2-4)}{6}=\frac{2\cdot(-1)\cdot(-2)}{6}=\frac{2}{3}.
L_2(2)=-\frac{1}{6}\cdot 2(2-1)(2-4)=-\frac{1}{6}\cdot 2\cdot1\cdot(-2)=\frac{2}{3}.
L_3(2)=\frac{2(2-1)(2-3)}{12}=\frac{2\cdot1\cdot(-1)}{12}=-\frac{1}{6}.
(Observação rápida: L_0+L_1+L_2+L_3=1, como deve ocorrer.)
Então
P(2)=2L_0(2)+4L_1(2)+0\cdot L_2(2)+1\cdot L_3(2) =2\left(-\tfrac{1}{6}\right)+4\left(\tfrac{2}{3}\right)+\left(-\tfrac{1}{6}\right).
Calcule:
2\left(-\tfrac{1}{6}\right)=-\tfrac{1}{3},\qquad 4\left(\tfrac{2}{3}\right)=\tfrac{8}{3},\qquad -\tfrac{1}{6}.
Somando: -\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{6}+\tfrac{8}{3}=\tfrac{13}{6}.
  • Usando a forma expandida: P(2)=\frac{7\cdot 2^3-44\cdot 2^2+61\cdot 2+24}{12} =\frac{7\cdot8-44\cdot4+122+24}{12} =\frac{56-176+122+24}{12}=\frac{26}{12}=\frac{13}{6}.
Ambos os métodos dão P(2)=\dfrac{13}{6}.

Resposta

P(x)=\frac{7x^3-44x^2+61x+24}{12}
f(2)=P(2)=\frac{13}{6}

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