Determine o interpolador de Lagrange para a função discretizada e calcule
:
Xi
0
2
1
4
3
0
4
1
| Xi |
|
| 0 | 2 |
| 1 | 4 |
| 3 | 0 |
| 4 | 1 |
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
-
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar o interpolador de Lagrange (o polinômio interpolador) para os pontos dados.
- Calcular
usando esse interpolador.
-
Os pontos fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado) são:
-
. -
. -
. -
.
-
A partir desses quatro pontos queremos o polinômio de grau máximo
que interpola os pontos (polinômio de Lagrange) e, com ele, obter o valor em
.
Passo 2
Apresento a fórmula do interpolador de Lagrange e explico o que cada parte significa (aula curta).
- Fórmula geral: para pontos
com , o polinômio de Lagrange é
onde cada polinômio base
é
- Interpretação:
é um polinômio que vale em e em para . Assim , garantindo a interpolação. - No nosso caso
. Vamos construir usando os fornecidos.
Passo 3
Calculo os denominadores e escrevo explicitamente cada
(faça igual na prova: calcule denominadores primeiro para evitar erros).
-
Para
com : Denominador:.
Logo -
Para
com : -
Para
com : -
Para
com :
Passo 4
Construo o polinômio interpolador
somando
. Lembre que
, então o termo com
some.
Substituindo os
e os
:
Passo 5
Simplifico termo a termo (aqui mostro as contas para poder escrever o polinômio em forma expandida; isso é útil na prova para verificar).
-
Primeiro termo:Expando
. Primeiro . Multiplicando por dá Então o primeiro termo é -
Segundo termo:Expando
. Primeiro . Multiplicando por dá .
Então o segundo termo é -
Quarto termo (terceiro não contribui porque
): Expando. Multiplicando por dá .
Então o quarto termo é
Agora somo tudo usando denominador comum
(para evitar erros):
- Primeiro termo em /12: multiply numerator and denom by 2:
- Segundo termo in /12: multiply numerator by 2:
- Quarto termo is already /12:
Somando numeradores:
Combine coeficientes:
-
. -
. -
. - constante:
.
Logo o numerador é
. Portanto
Passo 6
Faço uma verificação rápida (sempre bom na prova): avalio
nos nós para checar se recupera os
.
-
OK. -
OK. -
OK. -
OK.
As verificações batem, então a expansão está correta.
Passo 7
Agora calculo
. Posso usar a forma expandida ou avaliar usando os
(ambas dão o mesmo resultado). Vou mostrar as duas maneiras rápidas:
- Usando os
(método direto e rápido na prova):
(Observação rápida:
, como deve ocorrer.)
Então
Então
Calcule:
Somando:
.
- Usando a forma expandida:
Ambos os métodos dão
.