Encontre os coeficientes a e b da função y=a x^{b} sabendo que:
Xi \mathrm{Yi}=\mathrm{f}(\mathrm{Xi})
1 2
2 5.6
3 10.4
4 16

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos.
  • O enunciado pede: encontrar os coeficientes a e b da função \displaystyle y = a x^{b} sabendo a tabela de pares (X_i,Y_i).
  • Dados (peguei-os diretamente da tabela do enunciado):
    • (X_1,Y_1)=(1,2)
    • (X_2,Y_2)=(2,5{,}6)
    • (X_3,Y_3)=(3,10{,}4)
    • (X_4,Y_4)=(4,16)
O objetivo final é fornecer os valores numéricos de a e de b.

Passo 2

Observação simples e muito útil: usar o par com X=1 para encontrar a.
  • Substituindo x=1 em \displaystyle y=a x^{b} obtemos Y_1 = a\cdot 1^{b}.
  • Lembrete rápido sobre potências: para qualquer número real b, tem-se 1^{b}=1. Ou seja, qualquer potência de 1 continua sendo 1.
  • Portanto Y_1 = a\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad a = Y_1.
  • Como pelo dado Y_1=2, concluímos imediatamente a = 2.
Explicação didática curtinha: usar um ponto com x=1 é um “atalho” clássico em problemas de lei de potência porque elimina o expoente.

Passo 3

Determinar b usando outro ponto (por exemplo o ponto com X=4) e o valor de a já encontrado.
  • Substituindo a=2 e x=4 na função: Y_4 = a\cdot 4^{b} \quad\Rightarrow\quad 16 = 2\cdot 4^{b}.
  • Dividindo ambos os lados por 2: 4^{b} = \frac{16}{2} = 8.
  • Agora escrever 4 e 8 como potências de 2 (isso facilita a solução): 4 = 2^{2},\qquad 8 = 2^{3}.Então (2^{2})^{b} = 2^{3} \quad\Rightarrow\quad 2^{2b} = 2^{3}.
  • Quando duas potências de mesma base positiva são iguais, os expoentes são iguais. Logo 2b = 3 \quad\Rightarrow\quad b = \frac{3}{2}.
Explicação didática: transformar em potências da mesma base é uma técnica muito comum para resolver equações exponenciais; aqui funcionou porque 4 e 8 são potências de 2.

Passo 4

Converter b em número decimal e verificar com os outros pontos (checagem rápida).
  • O valor exato obtido foi b = \frac{3}{2}.
  • Em decimal, b = 1{,}5.
  • Verificação rápida (substituindo nos demais pontos):
    • Para x=2: \;y = 2\cdot 2^{1{,}5} = 2\cdot 2^{3/2} = 2\cdot 2\sqrt{2} \approx 5{,}6569, que é muito próximo do dado 5{,}6 (diferença de arredondamento na tabela).
    • Para x=3: \;y = 2\cdot 3^{1{,}5} = 2\sqrt{27} \approx 10{,}3923, que é muito próximo do dado 10{,}4.
    • Para x=4: \;y = 2\cdot 4^{1{,}5} = 16 exatamente, como usado.
  • Conclusão da verificação: os pontos da tabela são compatíveis com \;y=2\,x^{3/2}, possivelmente com pequenas aproximações apresentadas na tabela.

Resposta

a=2
b=\dfrac{3}{2}=1{,}5

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