Determine a interseção da reta u: x=2 t, y=1-t, z=2+2 t e o plano x+y+z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar onde a reta intersecta o plano . Isso envolve os tópicos de geometria analítica, especificamente a interseção entre uma reta e um plano. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações paramétricas da reta e substituir na equação do plano para encontrar o valor de que nos dá o ponto de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas da reta x = 2t :
y = 1 - t
z = 2 + 2t
Essas equações nos dizem como as coordenadas , e mudam conforme o parâmetro varia.

Passo 3

Agora, precisamos substituir essas expressões na equação do plano 2t + (1 - t) + (2 + 2t) = 0 . Isso significa que vamos substituir , e pelas expressões que temos em função de :

Passo 4

Vamos simplificar essa equação:
2t + 1 - t + 2 + 2t = 0
Juntando os termos semelhantes:
(2t - t + 2t) + (1 + 2) = 0
3t + 3 = 0

Passo 5

Agora, resolvemos para 3t + 3 = 0 :
3t = -3
Subtraindo 3 de ambos os lados:
t = -1
Dividindo por 3:

Passo 6

Com o valor de x = 2(-1) = -2 , podemos encontrar as coordenadas do ponto de interseção substituindo y = 1 - (-1) = 2 nas equações paramétricas da reta:
z = 2 + 2(-1) = 0

Resposta

O ponto de interseção da reta com o plano é .

Exercícios relacionados