Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo. \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(-4)^{n}} x^{2 n+1}
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o intervalo de convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(-4)^{n}} x^{2 n+1}.
Informações dadas:
A série é somatório desde n=0 até infinito.
O termo geral é \dfrac{1}{(-4)^{n}}x^{2n+1}.
A pergunta explícita: encontrar o conjunto de valores de x (intervalo em \mathbb{R}) para os quais essa série converge.
Passo 2
Vou manipular algebricamente o termo geral para ver uma forma mais simples. Observe que
Portanto a região onde a série geométrica converge (e, consequentemente, onde a série original converge) é |x|<2, isto é o intervalo aberto (-2,2). A partir daqui restam as verificações nos endpoints x=2 e x=-2.
Passo 4
Verificação do endpoint x=2. Substituindo x=2 no termo geral:
Os termos da série em x=2 são 2(-1)^{n}, que não tendem a 0 (alternam entre 2 e -2). Uma condição necessária para convergência de uma série é que o termo geral tenda a 0. Logo a série diverge em x=2.
Passo 5
Verificação do endpoint x=-2. Substituindo x=-2 no termo geral:
Os termos da série em x=-2 são -2(-1)^{n}, cujo módulo é 2, portanto também não tendem a 0. Logo a série diverge em x=-2.
Passo 6
Conclusão final: a série converge para todos x com |x|<2 e diverge para |x|\ge2. O intervalo de convergência (em \mathbb{R}) é o intervalo aberto (-2,2).