Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(-4)^{n}} x^{2 n+1}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o intervalo de convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(-4)^{n}} x^{2 n+1}.
Informações dadas:
  • A série é somatório desde n=0 até infinito.
  • O termo geral é \dfrac{1}{(-4)^{n}}x^{2n+1}.
    A pergunta explícita: encontrar o conjunto de valores de x (intervalo em \mathbb{R}) para os quais essa série converge.

Passo 2

Vou manipular algebricamente o termo geral para ver uma forma mais simples. Observe que
(-4)^{n}=(-1)^{n}4^{n},
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\frac{1}{(-4)^{n}}x^{2n+1}=\frac{x^{2n+1}}{(-1)^{n}4^{n}}=x\cdot\frac{(x^{2})^{n}}{(-1)^{n}4^{n}}.
Reagrupando os fatores (-1)^{n} e (x^{2})^{n} obtemos
\frac{1}{(-4)^{n}}x^{2n+1}=x\left(\frac{-x^{2}}{4}\right)^{n}.
Portanto a série pode ser escrita como
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(-4)^{n}} x^{2 n+1}=x\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{-x^{2}}{4}\right)^{n}.

Passo 3

Agora uma pequena aula sobre séries geométricas (fórmula e critério de convergência):
  • A série geométrica padrão é \sum_{n=0}^{\infty} r^{n}.
  • Essa série converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso seu somatório vale \dfrac{1}{1-r}.
  • Se |r|\ge1, a série geométrica diverge (mesmo porque os termos não tendem a zero quando |r|=1, ou crescem quando |r|>1).
No nosso caso a soma interna é uma série geométrica com razão
r=\frac{-x^{2}}{4}.
Pelo critério acima, a soma converge exatamente quando
\left|\frac{-x^{2}}{4}\right|<1.
Como |-x^{2}|=x^{2}, isso equivale a
\frac{x^{2}}{4}<1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}<4 \quad\Longrightarrow\quad |x|<2.
Portanto a região onde a série geométrica converge (e, consequentemente, onde a série original converge) é |x|<2, isto é o intervalo aberto (-2,2). A partir daqui restam as verificações nos endpoints x=2 e x=-2.

Passo 4

Verificação do endpoint x=2. Substituindo x=2 no termo geral:
\frac{1}{(-4)^{n}}2^{2n+1}=2\cdot\frac{2^{2n}}{(-4)^{n}}.
Como 2^{2n}=4^{n} e (-4)^{n}=(-1)^{n}4^{n}, segue
\frac{1}{(-4)^{n}}2^{2n+1}=2\cdot\frac{4^{n}}{(-1)^{n}4^{n}}=2\cdot\frac{1}{(-1)^{n}}=2(-1)^{n}.
Os termos da série em x=2 são 2(-1)^{n}, que não tendem a 0 (alternam entre 2 e -2). Uma condição necessária para convergência de uma série é que o termo geral tenda a 0. Logo a série diverge em x=2.

Passo 5

Verificação do endpoint x=-2. Substituindo x=-2 no termo geral:
\frac{1}{(-4)^{n}}(-2)^{2n+1}=(-2)\cdot\frac{(-2)^{2n}}{(-4)^{n}}.
Como (-2)^{2n}=2^{2n}=4^{n} e novamente (-4)^{n}=(-1)^{n}4^{n}, obtemos
\frac{1}{(-4)^{n}}(-2)^{2n+1}=(-2)\cdot\frac{4^{n}}{(-1)^{n}4^{n}}=(-2)\cdot\frac{1}{(-1)^{n}}=-2(-1)^{n}.
Os termos da série em x=-2 são -2(-1)^{n}, cujo módulo é 2, portanto também não tendem a 0. Logo a série diverge em x=-2.

Passo 6

Conclusão final: a série converge para todos x com |x|<2 e diverge para |x|\ge2. O intervalo de convergência (em \mathbb{R}) é o intervalo aberto (-2,2).

Resposta

(-2,2)

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