Questão 4 - Movimento Relativo em Espelho Plano
Um observador se afasta de um espelho plano com velocidade \mathrm{v}=1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Um objeto está fixo atrás do observador, a 3 m do espelho. Calcule:
a) A velocidade da imagem do observador em relação ao espelho
b) A velocidade da imagem do objeto
c) A velocidade relativa entre as duas imagens
d) O tempo necessário para que a distância entre as imagens dobre
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Dado: a velocidade do observador em relação ao espelho é \mathrm{v}=1,5\\ \mathrm{m/s}. O observador está se afastando do espelho.
Dado: existe um objeto fixo, “atrás do observador”, e esse objeto está a 3 m do espelho (ou seja, a distância do objeto ao espelho é 3\\ \mathrm{m}).
Perguntas:
(a) Calcular a velocidade da imagem do observador em relação ao espelho.
(b) Calcular a velocidade da imagem do objeto em relação ao espelho.
(c) Calcular a velocidade relativa entre as duas imagens (isto é, a taxa de variação da distância entre as imagens).
(d) Calcular o tempo necessário para que a distância entre as imagens dobre.
Observação importante (informação que falta): o enunciado não especifica a posição inicial exata do observador em relação ao espelho (por exemplo, se o observador começa encostado no espelho ou a uma certa distância). Para responder numericamente a (d) é necessária a distância inicial entre as imagens (ou, equivalentemente, a distância inicial entre o objeto e o observador). Vou deduzir uma expressão geral e, como exemplo numérico prático, calcular o tempo supondo a hipótese natural e simples: o observador, no instante inicial, está exatamente no espelho (distância zero ao espelho). Essa hipótese será explicada quando chegarmos à (d).
Passo 2
Conceitos físicos e modelagem matemática (aula curta e prática):
Para um espelho plano estacionário, a imagem de um objeto puntiforme está localizada atrás do espelho à mesma distância que o objeto está na frente do espelho. Se tomarmos o plano do espelho como origem x=0 e a região onde estão objeto e observador como x>0, então:
posição do objeto: x_o (constante se o objeto é fixo),
posição do observador: x_{obs}(t) (varia com o tempo).
posição da imagem do objeto: x_{io}=-x_o,
posição da imagem do observador: x_{iobs}(t)=-x_{obs}(t).
Aqui o sinal negativo indica que as imagens estão localizadas do outro lado do plano do espelho (isto é só para organizar coordenadas).
Velocidade é a derivada temporal da posição. Se x_{obs}(t) varia, a velocidade da imagem do observador év_{iobs}=\frac{d}{dt}x_{iobs}(t)=\frac{d}{dt}\big(-x_{obs}(t)\big)=-\frac{d}{dt}x_{obs}(t).Em módulo, a velocidade da imagem tem o mesmo valor que a do objeto (ou do observador) — a imagem acompanha a mesma variação de distância ao espelho, só que no lado oposto.
Se o objeto é fixo (x_o constante), então \dfrac{d}{dt}x_o=0 e a imagem do objeto também é fixa (v_{io}=0).
A distância entre as duas imagens éD(t)=\big|x_{iobs}(t)-x_{io}\big|=\big|-x_{obs}(t)-(-x_o)\big|=\big|x_o-x_{obs}(t)\big|.Observação importante: portanto a distância entre as imagens é numericamente igual à distância entre o objeto e o observador do lado real do espelho. Isso simplifica bastante a análise de como essa distância varia no tempo.
Passo 3
Aplicando os conceitos à parte (a) — velocidade da imagem do observador:
O observador se afasta do espelho com velocidade \mathrm{v}=1,5\\ \mathrm{m/s}. Em nossas coordenadas positivas para a frente do espelho, isso significa \dfrac{d}{dt}x_{obs}(t)=+1,5\\ \mathrm{m/s}.
Usando x_{iobs}(t)=-x_{obs}(t) e derivando:v_{iobs}=\frac{d}{dt}x_{iobs}(t)=-\frac{d}{dt}x_{obs}(t)=-1,5\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação de sinal: o sinal negativo indica que, na nossa convenção, a imagem está se deslocando no sentido negativo da coordenada (isto é, para trás do espelho), mas em módulo a velocidade é 1,5\\ \mathrm{m/s}. Em linguagem comum: a imagem do observador se afasta do espelho com velocidade 1,5\\ \mathrm{m/s}.
Passo 4
Aplicando à parte (b) — velocidade da imagem do objeto:
O objeto é fixo (posição constante x_o=3\\ \mathrm{m} dada pelo enunciado).
A imagem do objeto tem posição x_{io}=-x_o que é constante também.
Logo a velocidade da imagem do objeto év_{io}=\frac{d}{dt}x_{io}=0.
Em palavras: a imagem do objeto é estacionária (não se move).
Passo 5
Parte (c) — velocidade relativa entre as duas imagens (taxa de variação da distância entre elas):
A distância entre as imagens é D(t)=|x_o-x_{obs}(t)| (veja passo 2).
Como o objeto é fixo, a variação temporal de D é apenas pela variação de x_{obs}:\frac{dD}{dt}=\frac{d}{dt}|x_o-x_{obs}(t)|.
Se o observador está se afastando do espelho e o objeto está mais longe do espelho (situação descrita pelo enunciado: objeto “atrás do observador”), então x_o>x_{obs}(t) e o valor absoluto não inverte sinal, logo\frac{dD}{dt}=-\frac{d}{dt}x_{obs}(t) = -v_{obs}.Mas como v_{obs}=+1,5\\ \mathrm{m/s} para aumentar x_{obs}, devemos checar sinais: mais simples e robusto é usar a igualdade entre a taxa de variação da distância entre imagens e a taxa de variação da distância entre objeto e observador. Quando o observador se afasta do espelho (aumenta x_{obs}) e o objeto é fixo, a distância objeto–observador aumenta com velocidade v_{obs}=1,5\\ \mathrm{m/s}. Portanto a distância entre as imagens também aumenta com a mesma velocidade.
Conclusão: a velocidade relativa entre as imagens (taxa de aumento da separação) é 1,5\\ \mathrm{m/s}.
Observação alternativa de cálculo (mais direta): velocidades das imagens são v_{iobs}=1,5\\ \mathrm{m/s} (no sentido de afastamento) e v_{io}=0. Então a velocidade relativa (diferença de velocidades ao longo da linha) é v_{iobs}-v_{io}=1,5-0=1,5\\ \mathrm{m/s}.
Passo 6
Parte (d) — tempo necessário para que a distância entre as imagens dobre:
Defina D(0) como a distância inicial entre as imagens. Conforme vimos,D(0)=|x_o-x_{obs}(0)|.
Como a distância entre as imagens varia com taxa constante igual a v=1,5\\ \mathrm{m/s}, a lei do tempo éD(t)=D(0)+v\,t.(aqui v é a taxa de aumento da separação; usamos v>0.)
Essa é a resposta geral: o tempo para dobrar a distância entre as imagens é t=\dfrac{D(0)}{v}, onde D(0)=|x_o-x_{obs}(0)| é a distância inicial entre o objeto e o observador (ou, equivalentemente, entre as imagens).
Agora, usando os dados do enunciado: foi dada a posição do objeto x_o=3\\ \mathrm{m}, mas a posição inicial do observador x_{obs}(0) não foi especificada. Para obter um número, preciso assumir algo. Uma hipótese natural e simples (muito usada em exercícios didáticos) é assumir que, no instante t=0, o observador está muito próximo do espelho, idealmente em x_{obs}(0)=0 (encostado no espelho). Com essa hipótese:D(0)=|x_o-x_{obs}(0)|=|3-0|=3\\ \mathrm{m}.Entãot=\frac{D(0)}{v}=\frac{3\\ \mathrm{m}}{1,5\\ \mathrm{m/s}}=2\\ \mathrm{s}.
Se o observador não estiver em x_{obs}(0)=0, basta aplicar t=\dfrac{|x_o-x_{obs}(0)|}{1,5} para obter o tempo correto.
Resposta
(a) 1,5\\ \mathrm{m/s} (afastando-se do espelho)
(b) 0\\ \mathrm{m/s}
(c) 1,5\\ \mathrm{m/s} (a separação entre as imagens aumenta)
(d) t=\dfrac{|x_o-x_{obs}(0)|}{1,5}\\ \mathrm{s}. Com a hipótese x_{obs}(0)=0 (observador inicialmente no espelho): t=2\\ \mathrm{s}