Determine o intervalo de convergência e o raio de convergência:
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pedem o intervalo de convergência (no eixo real) e o raio de convergência da série de potências
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!}.
  • Informações dadas: os coeficientes da série (centro em 0) são a_k=\dfrac{1}{k!}. Não há mais dados ocultos.

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Uma série de potências centrada em 0 tem a forma \sum a_k x^k. O raio de convergência R é um número em [0,\infty] que indica para quais x a série converge: a série converge absolutamente para |x|<R, diverge para |x|>R; nos pontos |x|=R é preciso testar caso a caso.
  • Teste de razão (d’Alembert) para séries de termos u_k: se \lim_{k\to\infty}\left|\dfrac{u_{k+1}}{u_k}\right|=L então
    • se L<1 a série \sum u_k converge absolutamente;
    • se L>1 diverge;
    • se L=1 o teste é inconclusivo.
  • Relação prática para séries de potências: se os coeficientes a_k satisfazem \lim_{k\to\infty}\left|\dfrac{a_{k+1}}{a_k}\right|=L_a então o raio de convergência é R=\frac{1}{L_a}\quad(\text{com a convenção }1/0=\infty).çã(Isto vem de aplicar o teste da razão ao termo geral a_k x^k.)
  • Também se pode usar o teste da raiz: R=1/\limsup_{k\to\infty}|a_k|^{1/k}.

Passo 3

Aplicar o teste da razão à nossa série (faça passo a passo como na prova). Tome o termo geral
u_k=\frac{x^k}{k!}.
Calcule a razão das magnitudes consecutivas:
\left|\frac{u_{k+1}}{u_k}\right| = \left|\frac{x^{k+1}/(k+1)!}{x^k/k!}\right| = \left|\frac{x}{k+1}\right| = \frac{|x|}{k+1}.
Agora calcule o limite quando k\to\infty:
\lim_{k\to\infty}\frac{|x|}{k+1}=0.
Explicação do que isso significa: para qualquer valor fixo de x (qualquer número real), essa razão tende a 0, que é estritamente menor que 1. Pelo teste da razão, isso garante que a série \sum u_k converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Concluir sobre intervalo de convergência usando a conclusão do passo anterior: como a série converge para todo x real, o intervalo de convergência é
(-\infty,\infty).
Dica prática: quando a razão tende a 0 para todo x, significa converge para todos os x.

Passo 5

Determinar explicitamente o raio de convergência R. Usando a relação entre os coeficientes a_k=\dfrac{1}{k!} e o limite dos quocientes:
\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k} =\lim_{k\to\infty}\frac{1/(k+1)!}{1/k!} =\lim_{k\to\infty}\frac{1}{k+1}=0.
Como R=\dfrac{1}{\lim (a_{k+1}/a_k)} (quando esse limite existe), obtemos
R=\frac{1}{0}=\infty.
Também se pode ver pelo teste da raiz: \limsup_{k\to\infty}(1/k!)^{1/k}=0, logo R=1/0=\infty. Em palavras: os fatoriais crescem tão rápido que fazem os coeficientes irem a zero rápido o bastante para que a série tolere qualquer x.

Passo 6

Comentário final amistoso (como dica de prova): na prática, ao ver termos com k! no denominador pense logo no teste da razão; costuma dar limite zero e garantir convergência para todo x. Um fato útil: a própria série \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{x^k}{k!} representa a função e^{x}, mas para esta questão só importava a convergência.

Resposta

Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)
Raio de convergência: R=\infty

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