Resolva as seguintes Equações de Cauchy-Euler:
x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}-4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^{2}y''-2x y'-4y=0.
Informações dadas e o que é pedido:
  • É uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes que são potências de x.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (ou seja, a família de curvas com constantes arbitrárias).
  • Observação importante: a equação é singular em x=0, então as soluções clássicas em forma de potências x^{r} são consideradas para x>0 ou x<0 (exceto no ponto x=0).

Passo 2

Motivação do método usado (por que tentar y=x^{r}?)
  • Para equações do tipo Cauchy–Euler (coeficientes proporcionais a potências de x), a forma y=x^{r} é natural porque derivadas de x^{r} mantêm a forma de potência e permitem fatorar x^{r}. Isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para o expoente r.
  • Vamos aplicar esse método: suponha
y=x^{r},
onde r é um número (ainda desconhecido). Agora calculemos as derivadas necessárias explicitamente:
y' = r x^{r-1}, \qquad y'' = r(r-1) x^{r-2}.
Aqui y' é a derivada primeira de y em relação a x e y'' é a derivada segunda. Essas fórmulas vêm da regra básica de derivação de potências.

Passo 3

Substituição na equação original e formação da equação característica
  • Substituindo y, y', y'' na equação \;x^{2}y''-2x y'-4y=0\;, obtemos:
x^{2}\bigl(r(r-1)x^{r-2}\bigr)-2x\bigl(r x^{r-1}\bigr)-4\bigl(x^{r}\bigr)=0.
  • Simplificando os fatores x (todos os termos têm o fator x^{r}), fatoramos x^{r} e ficamos com uma equação algébrica em r:
\bigl[r(r-1)-2r-4\bigr]x^{r}=0.
  • Como x^{r} não é identicamente zero (exceto possivelmente em x=0), o coeficiente entre colchetes deve ser zero. Assim obtemos a equação característica:
r(r-1)-2r-4=0.

Passo 4

Resolver a equação característica (detalhando a álgebra)
  • Desenvolvendo os termos:
r(r-1)-2r-4 = r^{2}-r-2r-4 = r^{2}-3r-4.
  • Portanto a equação característica é
r^{2}-3r-4=0.
  • Resolvendo essa quadrática usando fórmula de Bhaskara (ou fatorando direto se possível). O discriminante é
\Delta = (-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-4)=9+16=25.
  • As raízes são
r = \frac{3\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{3\pm5}{2}.
  • Logo
r_{1}=\frac{3+5}{2}=4,\qquad r_{2}=\frac{3-5}{2}=-1.

Passo 5

Construir a solução geral e comentar independência linear
  • Como as raízes r_{1}=4 e r_{2}=-1 são reais e distintas, a solução geral da equação de Euler é a combinação linear das potências correspondentes:
y(x)=C_{1}x^{4}+C_{2}x^{-1},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias reais (definidas por condições iniciais, se houver).
  • Justificativa de independência: as funções x^{4} e x^{-1} são linearmente independentes em qualquer intervalo que não contenha 0. Por exemplo, o wronskiano
W(x)=\begin{vmatrix} x^{4} & x^{-1}\\\\ 4x^{3} & -x^{-2}\end{vmatrix} = x^{4}(-x^{-2}) - x^{-1}(4x^{3}) = -x^{2}-4x^{2} = -5x^{2},
não é zero para x\neq0, confirmando independência linear e, portanto, que a combinação acima é a solução geral válida em x>0 ou x<0.

Passo 6

Observações adicionais (para a prova — o que fazer se as raízes forem repetidas ou complexas)
  • Se a equação característica tivesse uma raiz dupla r, a segunda solução independente é x^{r}\ln x, e a solução geral seria y=(C_{1}+C_{2}\ln x)x^{r}.
  • Se as raízes fossem complexas r=\alpha\pm i\beta, a solução geral seria
y(x)=x^{\alpha}\bigl(C_{1}\cos(\beta\ln x)+C_{2}\sin(\beta\ln x)\bigr).
  • Essas fórmulas são úteis para reconhecer rapidamente o tipo de solução sem voltar a derivar tudo do zero.

Resposta

y(x)=C_{1}x^{4}+C_{2}x^{-1}

Exercícios relacionados