Resolva as seguintes Equações de Cauchy-Euler: x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}-4 y=0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^{2}y''-2x y'-4y=0.
Informações dadas e o que é pedido:
É uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes que são potências de x.
O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (ou seja, a família de curvas com constantes arbitrárias).
Observação importante: a equação é singular em x=0, então as soluções clássicas em forma de potências x^{r} são consideradas para x>0 ou x<0 (exceto no ponto x=0).
Passo 2
Motivação do método usado (por que tentar y=x^{r}?)
Para equações do tipo Cauchy–Euler (coeficientes proporcionais a potências de x), a forma y=x^{r} é natural porque derivadas de x^{r} mantêm a forma de potência e permitem fatorar x^{r}. Isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para o expoente r.
Vamos aplicar esse método: suponha
y=x^{r},
onde r é um número (ainda desconhecido). Agora calculemos as derivadas necessárias explicitamente:
y' = r x^{r-1}, \qquad y'' = r(r-1) x^{r-2}.
Aqui y' é a derivada primeira de y em relação a x e y'' é a derivada segunda. Essas fórmulas vêm da regra básica de derivação de potências.
Passo 3
Substituição na equação original e formação da equação característica
Substituindo y, y', y'' na equação \;x^{2}y''-2x y'-4y=0\;, obtemos:
Simplificando os fatores x (todos os termos têm o fator x^{r}), fatoramos x^{r} e ficamos com uma equação algébrica em r:
\bigl[r(r-1)-2r-4\bigr]x^{r}=0.
Como x^{r} não é identicamente zero (exceto possivelmente em x=0), o coeficiente entre colchetes deve ser zero. Assim obtemos a equação característica:
r(r-1)-2r-4=0.
Passo 4
Resolver a equação característica (detalhando a álgebra)
Desenvolvendo os termos:
r(r-1)-2r-4 = r^{2}-r-2r-4 = r^{2}-3r-4.
Portanto a equação característica é
r^{2}-3r-4=0.
Resolvendo essa quadrática usando fórmula de Bhaskara (ou fatorando direto se possível). O discriminante é
Construir a solução geral e comentar independência linear
Como as raízes r_{1}=4 e r_{2}=-1 são reais e distintas, a solução geral da equação de Euler é a combinação linear das potências correspondentes:
y(x)=C_{1}x^{4}+C_{2}x^{-1},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias reais (definidas por condições iniciais, se houver).
Justificativa de independência: as funções x^{4} e x^{-1} são linearmente independentes em qualquer intervalo que não contenha 0. Por exemplo, o wronskiano