Determine o intervalo de convergência e o raio de convergência: \sum_{k=0}^{\infty} k!x^{k}
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
\sum_{k=0}^{\infty} k!\,x^{k}
e pede duas coisas: (1) o intervalo de convergência (ou seja, para quais valores reais de x a série converge) e (2) o raio de convergência R (o número não negativo tal que a série converge para |x|<R e diverge para |x|>R).
Informações relevantes que temos: cada termo geral é k!\,x^{k}. Não há nenhuma outra hipótese — a série deve ser analisada para todos os x\in\mathbb{R}.
Passo 2
Escolhendo o método: aqui a maneira mais direta é usar o teste da razão (razão entre termos consecutivos) aplicado à série de termos a_k = k!\,x^{k}. Vou explicar o teste da razão com calma.
O teste da razão (enunciado):
Para uma série com termos a_k (complexos ou reais), calcule
Agora tome o limite quando k\to\infty\):
\[\lim_{k\to\infty} (k+1)\,|x| = \begin{cases} 0, & \text{se }|x|=0,\\[4pt] +\infty, & \text{se }|x|>0. \end{cases}
Interpretação: para qualquer x\neq0\] o limite é \(+\infty, que é maior que 1. Pelo teste da razão, a série diverge para todo x com |x|>0. Para x=0 a razão tende a 0, o que não é problema: a série se torna trivial.]
Passo 4
Analisar o caso x=0 separadamente: se x=0 então os termos são
a_0 = 0!\,0^{0}=1\quad(\text{padrão: }0^0\text{ aqui toma-se o termo }k=0\text{ como }1),ã
e para k\ge1 temos a_k = k!\,0^{k}=0. Portanto a série é
logo converge (de fato converge absolutamente, pois só há um termo não-nulo).
Passo 5
Concluir sobre convergência e raio:
A série converge apenas em x=0 e diverge para todo x\neq0.
Pelo conceito de raio de convergência R (maior número tal que a série converge para todo |x|<R), fica claro que não existe nenhum intervalo aberto |x|<R com R>0 onde a série converge. Logo o raio de convergência é
R=0.
Passo 6
Resumo conceitual e intuição (para a prova): o fator k! cresce muito mais rápido que qualquer potência fixa c^{k}. Mesmo multiplicando por x^{k} com |x|<1, o crescimento de k! domina e faz os termos não irem a zero (exceto quando x=0). Por isso a série não consegue convergir em nenhum ponto além de x=0. O teste da razão torna isso imediato porque o fator (k+1) na razão vai para infinito.
Resposta
Intervalo de convergência: \{0\}
Raio de convergência: 0