Determine o intervalo de convergência e o raio de convergência:
\sum_{k=0}^{\infty} k!x^{k}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{k=0}^{\infty} k!\,x^{k}
e pede duas coisas: (1) o intervalo de convergência (ou seja, para quais valores reais de x a série converge) e (2) o raio de convergência R (o número não negativo tal que a série converge para |x|<R e diverge para |x|>R).
Informações relevantes que temos: cada termo geral é k!\,x^{k}. Não há nenhuma outra hipótese — a série deve ser analisada para todos os x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Escolhendo o método: aqui a maneira mais direta é usar o teste da razão (razão entre termos consecutivos) aplicado à série de termos a_k = k!\,x^{k}. Vou explicar o teste da razão com calma.
O teste da razão (enunciado):
  • Para uma série com termos a_k (complexos ou reais), calcule
L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|.
  • Se L<1 a série converge absolutamente.
  • Se L>1 a série diverge.
  • Se L=1 o teste é inconclusivo.
Aqui a_k=k!\,x^{k}. A razão é fácil de calcular e normalmente dá informação sobre |x|.

Passo 3

Calcular explicitamente a razão entre termos consecutivos:
\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \left|\frac{(k+1)!\,x^{\,k+1}}{k!\,x^{k}}\right| = (k+1)\,|x|.
Agora tome o limite quando k\to\infty\): \[\lim_{k\to\infty} (k+1)\,|x| = \begin{cases} 0, & \text{se }|x|=0,\\[4pt] +\infty, & \text{se }|x|>0. \end{cases}
Interpretação: para qualquer x\neq0\] o limite é \(+\infty, que é maior que 1. Pelo teste da razão, a série diverge para todo x com |x|>0. Para x=0 a razão tende a 0, o que não é problema: a série se torna trivial.]

Passo 4

Analisar o caso x=0 separadamente: se x=0 então os termos são
a_0 = 0!\,0^{0}=1\quad(\text{padrão: }0^0\text{ aqui toma-se o termo }k=0\text{ como }1),ã
e para k\ge1 temos a_k = k!\,0^{k}=0. Portanto a série é
\sum_{k=0}^{\infty} k!\,0^{k} = 1 + 0 + 0 + \cdots = 1,
logo converge (de fato converge absolutamente, pois só há um termo não-nulo).

Passo 5

Concluir sobre convergência e raio:
  • A série converge apenas em x=0 e diverge para todo x\neq0.
  • Pelo conceito de raio de convergência R (maior número tal que a série converge para todo |x|<R), fica claro que não existe nenhum intervalo aberto |x|<R com R>0 onde a série converge. Logo o raio de convergência é
R=0.

Passo 6

Resumo conceitual e intuição (para a prova): o fator k! cresce muito mais rápido que qualquer potência fixa c^{k}. Mesmo multiplicando por x^{k} com |x|<1, o crescimento de k! domina e faz os termos não irem a zero (exceto quando x=0). Por isso a série não consegue convergir em nenhum ponto além de x=0. O teste da razão torna isso imediato porque o fator (k+1) na razão vai para infinito.

Resposta

Intervalo de convergência: \{0\}
Raio de convergência: 0

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