Determine o intervalo de convergência da série de potência dada.
sumn=1^+infty n^25^n(x-1)^n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência centrada em x=1
sumn=1^infty n^25^n(x-1)^n
O conteúdo principal aqui é o Teste da Razão para séries de potência, que vai nos dar o raio de convergência. Após obter o raio, precisamos testar os extremos do intervalo.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Razão às parcelas gerais
an=(n^2/5^n)(x-1)^n
Calculamos
L=limntoinfty|an+1an| =limntoinfty(n+1)^2/5^,n+1;l|x-1r|^n+1n^2/5^n;l|x-1r|^n =limntoinfty(n+1)^2n^2cdotl|x-1r|5 =l|x-1r|5

Passo 3

Para convergir, o Teste da Razão exige L<1, ou seja
l|x-1r|5<1 Longrightarrow l|x-1r|<5
Isso mostra que o raio de convergência é R=5 e a parte aberta do intervalo é
1-5<x<1+5 Longrightarrow -4<x<6

Passo 4

Agora testamos os extremos:
Em x=6, temos (x-1)=5 e a série vira
sumn=1^inftyn^25^n;5^n =sumn=1^inftyn^2,
que diverge porque n^2notto0.
Em x=-4, temos (x-1)=-5 e a série vira
sumn=1^inftyn^25^n(-5)^n =sumn=1^inftyn^2(-1)^n,
cujo termo geral n^2(-1)^n não tende a zero, logo diverge também.

Resposta

O intervalo de convergência é
(-4,6)

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