Determine o intervalo de convergência da série de potência dada.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência centrada em
O conteúdo principal aqui é o Teste da Razão para séries de potência, que vai nos dar o raio de convergência. Após obter o raio, precisamos testar os extremos do intervalo.
Passo 2
Aplicamos o Teste da Razão às parcelas gerais
Calculamos
Passo 3
Para convergir, o Teste da Razão exige L<1, ou seja
l|x-1r|5<1 Longrightarrow l|x-1r|<5
Isso mostra que o raio de convergência é R=5 e a parte aberta do intervalo é
1-5<x<1+5 Longrightarrow -4<x<6
Passo 4
Agora testamos os extremos:
Em x=6, temos (x-1)=5 e a série vira
sumn=1^inftyn^25^n;5^n =sumn=1^inftyn^2,
que diverge porque n^2notto0.
Em x=-4, temos (x-1)=-5 e a série vira
sumn=1^inftyn^25^n(-5)^n =sumn=1^inftyn^2(-1)^n,
cujo termo geral n^2(-1)^n não tende a zero, logo diverge também.