Determine o intervalo de convergência da série de potência dada.
sumn=2^+infty(-1)^n+1 x^nn(ln n)^2

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência
sumn=2^infty(-1)^n+1,x^nn(ln n)^2
O conteúdo é séries de potências: primeiro determinamos o raio de convergência usando o teste da raiz (ou razão), depois analisamos a convergência nos pontos extremos x=1 e x=-1.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz:
limntoinftyraiz[n]gl|(-1)^n+1x^nn(ln n)^2gr| =limntoinfty|x|l[n(ln n)^2r]^1/n =|x|cdot1 =|x|
Para convergir pelo teste da raiz é necessário |x|<1. Logo o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Concluímos que a série converge absolutamente para |x|<1 e diverge para |x|>1. Restam os casos x=1 e x=-1.

Passo 4

Em x=1 a série fica
sumn=2^infty(-1)^n+11n(ln n)^2
Aqui temos uma série alternante com termo geral an=1/(n(ln n)^2) que é positivo, decrescente e tende a zero. Pelo critério de Leibniz, converge. Além disso, a série de termos positivos
sumn=2^infty1n(ln n)^2
converge pelo teste da integral (ou p-série logarítmica), logo há convergência absoluta em x=1.

Passo 5

Em x=-1 a série torna-se
sumn=2^infty(-1)^n+1(-1)^nn(ln n)^2 =sumn=2^infty(-1)^2n+11n(ln n)^2 =-sumn=2^infty1n(ln n)^2,
que é (até sinal) a mesma série de termos positivos que já vimos convergir. Portanto converge absolutamente em x=-1.

Resposta

O intervalo de convergência é [-1,1].

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