Determine o intervalo de convergência da série de potência dada.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência
O conteúdo é séries de potências: primeiro determinamos o raio de convergência usando o teste da raiz (ou razão), depois analisamos a convergência nos pontos extremos e .
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz:
Para convergir pelo teste da raiz é necessário |x|<1. Logo o raio de convergência é R=1.
Passo 3
Concluímos que a série converge absolutamente para |x|<1 e diverge para |x|>1. Restam os casos x=1 e x=-1.
Passo 4
Em x=1 a série fica
sumn=2^infty(-1)^n+11n(ln n)^2
Aqui temos uma série alternante com termo geral an=1/(n(ln n)^2) que é positivo, decrescente e tende a zero. Pelo critério de Leibniz, converge. Além disso, a série de termos positivos
sumn=2^infty1n(ln n)^2
converge pelo teste da integral (ou p-série logarítmica), logo há convergência absoluta em x=1.