Determine o intervalo de convergência das séries de potências dadas.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n x^{n}}{3^{n}};

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n x^{n}}{3^{n}}
e pede para determinar o intervalo de convergência dessa série. \n
Informações relevantes que temos:
  • O termo geral da série é a_n(x)=\dfrac{n x^{n}}{3^{n}}.
  • Precisamos encontrar todos os valores de x (números reais) para os quais a série converge.
  • Convém verificar tanto a região interior (onde a série converge absolutamente) quanto os pontos extremos (os valores x com |x|=3).

Passo 2

Estratégia a usar (explicada de forma didática): vou aplicar o teste da razão (ratio test) para séries de termos com n e potência x^{n}. \n
Breve explicação do teste da razão: dado uma série com termos b_n, define-se
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|.
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Esse teste é muito prático para séries de potências porque o fator com n e a potência geralmente simplificam bem.

Passo 3

Aplicando o teste da razão aos termos a_n(x)=\dfrac{n x^{n}}{3^{n}}. Calculo
\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right| = \left|\frac{\dfrac{(n+1) x^{n+1}}{3^{n+1}}}{\dfrac{n x^{n}}{3^{n}}}\right| = \left|\frac{n+1}{n}\cdot\frac{x^{n+1}}{x^{n}}\cdot\frac{3^{n}}{3^{n+1}}\right| = \frac{n+1}{n}\cdot\frac{|x|}{3}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\cdot\frac{|x|}{3} = 1\cdot\frac{|x|}{3}=\frac{|x|}{3}.
Pelo teste da razão, a série converge absolutamente se esse limite for <1, ou seja se
\frac{|x|}{3}<1.

Passo 4

Da desigualdade \dfrac{|x|}{3}<1 obtemos
|x|<3.
Isto significa que a série converge absolutamente para todos os x tais que |x|<3. Em termos de intervalo, a convergência absoluta ocorre para
-3<x<3.
Da análise com o teste da razão concluímos que o raio de convergência da série é R=3. Agora precisamos verificar o comportamento exatamente nos pontos da fronteira, x=3 e x=-3, porque o teste da razão não decide a convergência nesses pontos (quando |x|=3 o limite do teste da razão é 1).

Passo 5

Testando os extremos:
  1. Para x=3: o termo geral vira
a_n(3)=\frac{n\cdot 3^{n}}{3^{n}}=n.
Como o termo geral não tende a zero ( \lim_{n\to\infty} n=+\infty), pela condição necessária para convergência (se uma série converge então o termo geral tende a zero) a série diverge. Conclusão: diverge em x=3.
  1. Para x=-3: o termo geral vira
a_n(-3)=\frac{n\cdot(-3)^{n}}{3^{n}}=n(-1)^{n}.
O módulo do termo é |n(-1)^n|=n, que também não tende a zero; assim a série também diverge em x=-3 (novamente pelo teste do termo geral: termos não tendem a zero => série diverge).
Portanto ambos os extremos são excluídos do intervalo de convergência.

Passo 6

Comentário útil (fórmula fechada dentro do raio): para fixar a intuição, note que para |x|<3 podemos escrever a série em termos de r=\dfrac{x}{3}:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n x^{n}}{3^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n}.
Sabe-se (derivando a série geométrica) que, para |r|<1,
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n}=\frac{r}{(1-r)^{2}},
o que confirma convergência e dá até a soma explícita quando |x|<3. Isso é só uma confirmação adicional do que já concluímos pelo teste da razão.

Resposta

(-3,3)

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