Use o teste da integral para determinar se as séries dadas são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2 n+3}{\left(n^{2}+3 n\right)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+3}{(n^{2}+3n)^{2}}
é convergente ou divergente. Informação dada: o termo geral é positivo para todo n\ge1 (pois numerador e denominador são positivos para n\ge1). Não há outras quantidades numéricas além dessa expressão. A solicitação é decidir convergência/divergência da série infinita.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da integral. Para isso, associamos à sequência dos termos a função contínua
f(x)=\frac{2x+3}{(x^{2}+3x)^{2}},
definida para x\ge1. Primeiro verificamos as hipóteses do teste da integral: f deve ser positiva, contínua e decrescente em [1,\infty).
  • Positividade: para x\ge1 temos 2x+3>0 e x^{2}+3x>0, logo f(x)>0.
  • Continuidade: f é racional e só teria descontinuidade onde x^{2}+3x=0, i.e. em x=0 e x=-3; como trabalhamos em x\ge1, f é contínua em [1,\infty).
  • Decrescência: calculamos f'(x) e mostramos que é negativa em [1,\infty).
Calculemos f'(x). Seja N(x)=2x+3 e D(x)=(x^{2}+3x)^{2}. Então
f'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{D(x)^{2}}.
Aqui N'(x)=2 e
D'(x)=2(x^{2}+3x)\cdot(2x+3).
Substituindo:
f'(x)=\frac{2(x^{2}+3x)^{2}-(2x+3)\cdot 2(x^{2}+3x)(2x+3)}{(x^{2}+3x)^{4}}.
Fatorando 2(x^{2}+3x) no numerador:
f'(x)=\frac{2(x^{2}+3x)\big[(x^{2}+3x)-(2x+3)^{2}\big]}{(x^{2}+3x)^{4}}.
Agora simplificamos o colchete:
(x^{2}+3x)-(2x+3)^{2}=x^{2}+3x-(4x^{2}+12x+9)=-3x^{2}-9x-9=-3(x^{2}+3x+3).
Então o numerador fica
2(x^{2}+3x)\cdot\big[-3(x^{2}+3x+3)\big]=-6(x^{2}+3x)(x^{2}+3x+3),
e assim
f'(x)=\frac{-6(x^{2}+3x)(x^{2}+3x+3)}{(x^{2}+3x)^{4}}.
Como o denominador é positivo e os fatores no numerador são positivos para x\ge1, concluímos f'(x)<0 para todo x\ge1. Portanto f é decrescente em [1,\infty).
Assim, todas as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.

Passo 3

Agora calculamos a integral imprópria \displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx. Observação útil: a função
g(x)=\frac{1}{x^{2}+3x}
tem derivada
g'(x)=-\frac{2x+3}{(x^{2}+3x)^{2}}=-f(x).
Portanto f(x)=-g'(x) e
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx=-\int_{1}^{\infty} g'(x)\,dx=-\big[ g(x)\big]_{1}^{\infty}.
Calculamos o limite:
\lim_{x\to\infty} g(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{2}+3x}=0,
e
g(1)=\frac{1}{1^{2}+3\cdot1}=\frac{1}{4}.
Logo
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx=-\big(0-\tfrac{1}{4}\big)=\tfrac{1}{4},
que é finito.

Passo 4

Pelo teste da integral, como \displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge (é finita) e f é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty), a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+3}{(n^{2}+3n)^{2}}
converge. (Observação: os termos são positivos, então a convergência é absoluta por definição.)

Resposta

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+3}{(n^{2}+3n)^{2}} converge.

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