Use o teste da integral para determinar se as séries dadas são convergentes ou divergentes.
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Informação dada: o termo geral é positivo para todo
(pois numerador e denominador são positivos para
). Não há outras quantidades numéricas além dessa expressão. A solicitação é decidir convergência/divergência da série infinita.
Passo 2
Vamos aplicar o teste da integral. Para isso, associamos à sequência dos termos a função contínua
definida para
. Primeiro verificamos as hipóteses do teste da integral:
deve ser positiva, contínua e decrescente em
.
- Positividade: para
temos e , logo . - Continuidade:
é racional e só teria descontinuidade onde , i.e. em e ; como trabalhamos em , é contínua em . - Decrescência: calculamos
e mostramos que é negativa em .
Calculemos
. Seja
e
. Então
Aqui
e
Substituindo:
Fatorando
no numerador:
Agora simplificamos o colchete:
Então o numerador fica
e assim
Como o denominador é positivo e os fatores no numerador são positivos para
, concluímos
para todo
. Portanto
é decrescente em
.
Assim, todas as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.
Passo 3
Agora calculamos a integral imprópria
. Observação útil: a função
tem derivada
Portanto
e
Calculamos o limite:
e
Logo
que é finito.
Passo 4
Pelo teste da integral, como
converge (é finita) e
é positiva, contínua e decrescente em
, a série
converge. (Observação: os termos são positivos, então a convergência é absoluta por definição.)