L = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)\,\lvert x-5\rvert}{3}.
Passo 4
Para convergência pelo Teste da Razão precisamos de L<1\). Mas
\[\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)\,\lvert x-5\rvert}{3}= \begin{cases} 0,&\text{se \(\lvert x-5\rvert=0,}\ +\infty,&se \lvert x-5\rvert\neq0. \end{cases}]
Portanto, a única possibilidade de L<1 é \lvert x-5\rvert=0, i.e.\ x=5. Nesse ponto a série vale \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n n!\,0^n/3^n =1 (converge trivialmente).
Resposta
O intervalo de convergência é o ponto \{5\} (raio de convergência R=0).