Determine o intervalo de convergência das séries de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n!(x-5)^{n}}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em x=5:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\,n!\,(x-5)^{n}}{3^{n}}.
Vamos usar o Teste da Razão para séries de potências, que permite determinar o raio de convergência.

Passo 2

Denote o termo geral por
a_n = \frac{(-1)^{n}\,n!\,(x-5)^{n}}{3^{n}}.
Aplicamos o Teste da Razão, calculando
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.

Passo 3

Temos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{(n+1)!\,\lvert x-5\rvert^{n+1}/3^{\,n+1}}{n!\,\lvert x-5\rvert^{n}/3^{\,n}} = \frac{(n+1)\,\lvert x-5\rvert}{3}.
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L = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)\,\lvert x-5\rvert}{3}.

Passo 4

Para convergência pelo Teste da Razão precisamos de L<1\). Mas \[\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)\,\lvert x-5\rvert}{3}= \begin{cases} 0,&\text{se \(\lvert x-5\rvert=0,}\ +\infty,&se \lvert x-5\rvert\neq0. \end{cases}]
Portanto, a única possibilidade de L<1 é \lvert x-5\rvert=0, i.e.\ x=5. Nesse ponto a série vale \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n n!\,0^n/3^n =1 (converge trivialmente).

Resposta

O intervalo de convergência é o ponto \{5\} (raio de convergência R=0).

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