Determine o intervalo de convergência das séries de potências \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{n}}{6^{n}} Passo 1O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}\,x^{n}}{6^{n}}. O conteúdo é teste de convergência de série de potências e vamos usar o critério da razão para obter o raio de convergência e depois testar os extremos. Passo 2Denotando a_n = \frac{(-1)^{n+1}x^n}{6^n}, aplicamos o teste da razão: L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{(-1)^{n+2}x^{n+1}/6^{n+1}}{(-1)^{n+1}x^n/6^n}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{6} = \frac{|x|}{6}. Para convergir, precisamos de L<1, ou seja, \frac{|x|}{6}<1 \quad\Longrightarrow\quad |x|<6. Logo o raio de convergência é R=6. Passo 3Teste em x=6: O termo geral fica \frac{(-1)^{n+1}\,6^n}{6^n}=(-1)^{n+1}. A série é \sum(-1)^{n+1}, cujos termos não tendem a zero, logo diverge em x=6. Passo 4Teste em x=-6: O termo geral fica \frac{(-1)^{n+1}\,(-6)^n}{6^n} =(-1)^{n+1+n}=(-1)^{2n+1}=-1. A série é \sum(-1), que também diverge em x=-6. Passo 5Concluímos que a série converge somente para |x|<6 e diverge nos extremos x=\pm6. Resposta (-6,6) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine o intervalo de convergência das séries de potências \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{(n+1)(n+2)} Determine o intervalo de convergência das séries de potências \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{n}}{6^{n}} Determine o intervalo de convergência das séries de potências \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{n}}{6^{n}} Determine o intervalo de convergência das séries de potências \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n!(x-5)^{n}}{3^{n}}