Determine o intervalo de convergência das séries de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-3)^{n+1}}{(n+1) 4^{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência de uma série de potências centrada em x=3:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-3)^{n+1}}{(n+1)\,4^{n+1}}.
O conteúdo é análise de séries de potências e vamos usar principalmente o teste da razão para encontrar o raio de convergência e depois testar os extremos do intervalo.

Passo 2

Reindexamos a série definindo k=n+1. Então ela fica
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(x-3)^{k}}{k\,4^{k}}.
O termo geral é
a_k = \frac{(x-3)^k}{k\,4^k}.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão:
L = \lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \lim_{k\to\infty}\left|\frac{(x-3)^{k+1}}{(k+1)4^{k+1}}\cdot\frac{k\,4^k}{(x-3)^k}\right| = \lim_{k\to\infty}\frac{k}{k+1}\,\frac{|x-3|}{4} = \frac{|x-3|}{4}.
Convergência absoluta ocorre se L<1, ou seja
\frac{|x-3|}{4}<1 \quad\Longrightarrow\quad |x-3|<4.
O raio de convergência é R=4 e o intervalo aberto é
3-4 < x < 3+4 \quad\Longrightarrow\quad -1 < x < 7.

Passo 4

Agora testamos os extremos:
  1. Em x=7, temos
(x-3)^k/(k\,4^k)=4^k/(k\,4^k)=\frac1k,
e \sum1/k diverge (série harmônica). Logo não converge em x=7.
  1. Em x=-1, temos
(x-3)^k/(k\,4^k)=(-4)^k/(k\,4^k)=\frac{(-1)^k}{k},
que é a série alternada \sum(-1)^k/k. Por critério de Leibniz, ela converge (condicionalmente).

Resposta

O intervalo de convergência é
[-1,\,7).

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