Determine o intervalo de convergência das séries de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(x-4)^{n}}{n 9^{n}}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em x_{0}=4:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(x-4)^{n}}{n\,9^{n}}.
O conteúdo principal é determinar o raio de convergência usando o teste da raiz (ou razão) e depois testar separadamente os dois extremos x=4\pm R.

Passo 2

Para achar o raio de convergência R, aplicamos o teste da raiz. Seja
a_{n}(x)=\frac{(-1)^{n+1}(x-4)^{n}}{n\,9^{n}}.
O teste da raiz diz que a série convergirá se
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_{n}(x)\bigr|}<1.
Calculamos
\sqrt[n]{\bigl|a_{n}(x)\bigr|} =\sqrt[n]{\frac{|x-4|^{n}}{n\,9^{n}}} =\frac{|x-4|}{9}\,\sqrt[n]{\frac1{n}} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;\frac{|x-4|}{9},
pois \sqrt[n]{1/n}\to1.

Passo 3

Da condição \frac{|x-4|}{9}<1 segue
|x-4|<9,
logo o raio de convergência é R=9 e a faixa principal de convergência é
4-9 < x < 4+9,
isto é,
-5 < x < 13.

Passo 4

Testamos x=13. Nesse caso
x-4=9 \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}9^{n}}{n\,9^{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n},
que é a série alternada harmônica. Pelo teste de Leibniz ela converge condicionalmente.

Passo 5

Testamos x=-5. Então
x-4=-9 \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(-9)^{n}}{n\,9^{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(-1)^{n}}{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-1}{n},
que é -\sum 1/n, a série harmônica divergente. Logo não converge em x=-5.

Resposta

O intervalo de convergência é
(-5,\,13].

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