Determine o intervalo de convergência das séries de potências
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em
:
O conteúdo principal é determinar o raio de convergência usando o teste da raiz (ou razão) e depois testar separadamente os dois extremos
.
Passo 2
Para achar o raio de convergência
, aplicamos o teste da raiz. Seja
O teste da raiz diz que a série convergirá se
Calculamos
pois
.
Passo 3
Da condição
segue
logo o raio de convergência é
e a faixa principal de convergência é
isto é,
Passo 4
Testamos
. Nesse caso
que é a série alternada harmônica. Pelo teste de Leibniz ela converge condicionalmente.
Passo 5
Testamos
. Então
que é
, a série harmônica divergente. Logo não converge em
.
Resposta
O intervalo de convergência é