Determine o intervalo de convergência das séries de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3 n+1}}{(3 n+1)!}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{3n+1}}{(3n+1)!}.
Aqui o conteúdo é aplicação do teste da razão para séries de potências.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{n}=\frac{x^{3n+1}}{(3n+1)!}.
Aplicamos o teste da razão, isto é, calculamos
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|.

Passo 3

Escrevendo o quociente, temos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{x^{3(n+1)+1}/(3(n+1)+1)!}{x^{3n+1}/(3n+1)!} =\frac{x^{3n+4}}{(3n+4)!}\cdot\frac{(3n+1)!}{x^{3n+1}} =\frac{x^{3}}{(3n+4)(3n+3)(3n+2)}.
Portanto
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x^{3}}{(3n+4)(3n+3)(3n+2)}\right|=0
para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Como L=0<1 independentemente de x, a série converge para qualquer valor real de x.

Resposta

O intervalo de convergência é (-\infty,\infty).

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