Determine o intervalo de convergência das séries de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{n!}.
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que permite determinar o raio de convergência de séries de potências.

Passo 2

Definimos o termo geral sem o sinal alternante e em valor absoluto:
a_n = \frac{|x|^{2n}}{n!}.
Aplicamos o Teste da Razão, calculando
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{|x|^{2(n+1)}/(n+1)!}{|x|^{2n}/n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{|x|^2}{n+1}.

Passo 3

Como
\frac{|x|^2}{n+1} \to 0 \quad\text{quando }n\to\infty,
temos L=0. O Teste da Razão diz que a série converge sempre que L<1. Aqui 0<1 para qualquer x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Como o limite L é menor que 1 para todo real x, o raio de convergência é infinito. Logo, a série converge para qualquer valor de x.

Resposta

O intervalo de convergência é (-\infty,\infty).

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