Determine o intervalo de convergência das séries de potências
\sum_{n=0}^{\infty}(2 n)!\left(\frac{x}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}(2n)!\Bigl(\frac{x}{n}\Bigr)^{n}.
O conteúdo principal é o critério da raiz de Cauchy para séries de potências. Vamos aplicá-lo para determinar o raio de convergência R.

Passo 2

Denotemos
a_n = (2n)!\Bigl(\frac{x}{n}\Bigr)^{n}.
O teste da raiz diz que devemos estudar
L \;=\;\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|} \;.
Note que
\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|} \;=\;\sqrt[n]{(2n)!}\;\frac{|x|}{n}.

Passo 3

Para tratar \sqrt[n]{(2n)!}, usamos a fórmula de Stirling em sua forma assintótica:
(2n)! \sim \sqrt{4\pi n}\,(2n)^{2n}e^{-2n}.
Tomando a enésima raiz, obtemos
\sqrt[n]{(2n)!}\;\sim\;(2n)^2\,e^{-2} \quad\text{quando }n\to\infty.

Passo 4

Substituindo em \sqrt[n]{|a_n|}\): \[\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|} \;\sim\;(2n)^2e^{-2}\,\frac{|x|}{n} =\frac{4n^2}{e^2}\,\frac{|x|}{n} =\frac{4n\,|x|}{e^2}.
Como
\lim_{n\to\infty}\frac{4n\,|x|}{e^2} =\begin{cases} 0,&x=0,\\[6pt] +\infty,&x\neq0, \end{cases}
segue que L=+\infty\] para todo \(x\neq0, o que pela raiz implica divergência sempre que x\neq0.]

Passo 5

Em x=0, todos os termos para n\ge1 são nulos e a série converge trivialmente. Logo o único ponto de convergência é x=0, isto é, o raio de convergência é
R=0 \quad\text{e o intervalo de convergência é }\{0\}.êé

Resposta

A série converge somente para x=0. O intervalo de convergência é \{0\} (raio R=0).

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