Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o intervalo e o raio de convergência da série de potências . Isso está dentro do conteúdo de séries de potências e convergência. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem legal para descobrir até onde a série “funciona”.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma geral da nossa série. Aqui, a gente tem:
E a série fica:
A ideia é descobrir para quais valores de essa série converge.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Isso significa que vamos calcular o limite:
Substituindo an e an+1:
an+1an = 1(n+2) 2^n+11(n+1) 2^n = n+1n+2 cdot 12
Então:
L = limn to infty n+1n+2 cdot 12 cdot |x + 2| = 12 |x + 2|
Passo 4
Para a série convergir, precisamos que L < 1. Então:
12 |x + 2| < 1
Multiplicando os dois lados por 2:
|x + 2| < 2
Isso nos dá o intervalo:
-2 < x + 2 < 2 Rightarrow -4 < x < 0
Passo 5
Agora, precisamos verificar se os pontos extremos x = -4 e x = 0 realmente fazem a série convergir ou não.