Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
sumn=0^+infty (x+2)^n(n+1) 2^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o intervalo e o raio de convergência da série de potências sumn=0^+infty (x+2)^n(n+1) 2^n. Isso está dentro do conteúdo de séries de potências e convergência. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem legal para descobrir até onde a série “funciona”.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral da nossa série. Aqui, a gente tem:
an = 1(n+1) 2^n
E a série fica:
sumn=0^+infty an (x + 2)^n
A ideia é descobrir para quais valores de x essa série converge.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Isso significa que vamos calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an | cdot |x + 2|
Substituindo an e an+1:
an+1an = 1(n+2) 2^n+11(n+1) 2^n = n+1n+2 cdot 12
Então:
L = limn to infty n+1n+2 cdot 12 cdot |x + 2| = 12 |x + 2|

Passo 4

Para a série convergir, precisamos que L < 1. Então:
12 |x + 2| < 1
Multiplicando os dois lados por 2:
|x + 2| < 2
Isso nos dá o intervalo:
-2 < x + 2 < 2 Rightarrow -4 < x < 0

Passo 5

Agora, precisamos verificar se os pontos extremos x = -4 e x = 0 realmente fazem a série convergir ou não.
Para x = -4:
Substituindo na série:
sumn=0^+infty (-4 + 2)^n(n+1) 2^n = sumn=0^+infty (-2)^n(n+1) 2^n = sumn=0^+infty (-1)^nn+1
Essa é uma série alternada. Pelo Teste da Série Alternada, como os termos 1n+1 diminuem e tendem a zero, a série converge.
Para x = 0:
Substituindo na série:
sumn=0^+infty (0 + 2)^n(n+1) 2^n = sumn=0^+infty 2^n(n+1) 2^n = sumn=0^+infty 1n+1
Isso é a série harmônica, que sabemos que diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é [-4,,0) e o raio de convergência é 2.

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