Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas:
Se sumn=0^+infty|an| é convergente, então sumn=0^+infty an x^n é absolutamente convergente no intervalo [-1,1].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas séries:
  1. A série dos valores absolutos: que está convergindo.
  2. A série potência: no intervalo .
O conteúdo envolvido aqui é o de convergência de séries, especificamente a convergência absoluta e a convergência de séries de potências. Vamos precisar entender como a convergência da série dos valores absolutos afeta a convergência da série potência no intervalo dado.

Passo 2

Sabemos que se a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série converge absolutamente. A convergência absoluta é uma condição mais forte que garante a convergência da série original independentemente da ordem dos termos.

Passo 3

Agora, vamos analisar a série potência . Para que essa série convirja absolutamente em , precisamos verificar se converge para todo nesse intervalo.

Passo 4

Note que . No intervalo , temos que . Portanto, .

Passo 5

Como sabemos que converge, e já que para todo em , pelo teste de comparação, a série também converge para todo nesse intervalo.

Resposta

(V)

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