Determine a inversa de
indicando domínio de
e domínio de
.
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede duas coisas: (1) determinar a função inversa
; (2) indicar o domínio de
e o domínio de
.
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
- Dado:
. - Pedidos:
- Achar
. - Determinar
. - Determinar
.
- Achar
Passo 2
Determinar o domínio de
.
Uma função racional não está definida quando o denominador
é zero. Aqui o denominador é
. Portanto exigimos
Uma função racional
Isso dá
Logo o domínio de
é todos os reais exceto
, ou seja
Passo 3
Método para achar a inversa (explicação didática).
Para encontrar é comum fazer: escrever
, resolver essa equação para
em termos de
e depois trocar
e
. Isso funciona porque a inversa troca papéis de entrada e saída. Vou fazer isso passo a passo e explicar cada manipulação algébrica.
Para encontrar
Passo 4
Começar: escrevo
Multiplico ambos os lados por
(válido desde que
, já tratado no domínio):
Faço a multiplicação na esquerda:
Agora quero isolar
. Reúno os termos com
de um lado e os restantes do outro:
Coloco
em evidência no lado esquerdo:
Agora divido por
, desde que
:
Para deixar a forma mais bonita, multiplico numerador e denominador por
:
Passo 5
Trocar
e
para obter a inversa como função de
. Ou seja, substituir
por
no resultado acima (padrão ao escrever
):
Ao fazer essa troca, a condição que tínhamos
vira a condição
para a função inversa. Assim a inversa só está definida quando
.
Passo 6
Explicar por que
não está na imagem de
(ou seja, por que 2 não pertence ao alcance de
e por isso aparece como exclusão no domínio da inversa). Se fosse possível ter
então deveríamos ter
Resolvendo essa igualdade:
o que é impossível. Portanto
nunca vale
, logo
não pertence à imagem de
. Isso confirma que
e portanto
Passo 7
Verificação rápida (opcional, para segurança): compor
com a candidata
e ver que volta a identidade. Vou verificar
para
.
Primeiro escrevo . Substituo em
:
Primeiro escrevo
Coloco tudo sobre o mesmo denominador
:
para
. Isso confirma que a expressão encontrada é realmente a inversa no domínio adequado.