Determine a inversa de
f(x)=\frac{2 x-1}{x+3}
indicando domínio de f e domínio de f^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a função racional
f(x)=\frac{2x-1}{x+3}
e pede duas coisas: (1) determinar a função inversa f^{-1}; (2) indicar o domínio de f e o domínio de f^{-1}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Dado: \displaystyle f(x)=\frac{2x-1}{x+3}.
  • Pedidos:
    • Achar f^{-1}.
    • Determinar \operatorname{Dom}(f).
    • Determinar \operatorname{Dom}(f^{-1}).

Passo 2

Determinar o domínio de f.
Uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} não está definida quando o denominador Q(x) é zero. Aqui o denominador é x+3. Portanto exigimos
x+3\neq 0.
Isso dá
x\neq -3.
Logo o domínio de f é todos os reais exceto -3, ou seja
\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-3\}.

Passo 3

Método para achar a inversa (explicação didática).
Para encontrar f^{-1} é comum fazer: escrever y=f(x), resolver essa equação para x em termos de y e depois trocar x e y. Isso funciona porque a inversa troca papéis de entrada e saída. Vou fazer isso passo a passo e explicar cada manipulação algébrica.

Passo 4

Começar: escrevo
y=\frac{2x-1}{x+3}.
Multiplico ambos os lados por x+3 (válido desde que x\neq -3, já tratado no domínio):
y(x+3)=2x-1.
Faço a multiplicação na esquerda:
yx+3y=2x-1.
Agora quero isolar x. Reúno os termos com x de um lado e os restantes do outro:
yx-2x=-1-3y.
Coloco x em evidência no lado esquerdo:
x(y-2)=-1-3y.
Agora divido por y-2, desde que y-2\neq 0:
x=\frac{-1-3y}{y-2}.
Para deixar a forma mais bonita, multiplico numerador e denominador por -1:
x=\frac{3y+1}{2-y}.

Passo 5

Trocar x e y para obter a inversa como função de x. Ou seja, substituir y por x no resultado acima (padrão ao escrever f^{-1}):
f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{2-x}.
Ao fazer essa troca, a condição que tínhamos y\neq 2 vira a condição x\neq 2 para a função inversa. Assim a inversa só está definida quando x\neq 2.

Passo 6

Explicar por que 2 não está na imagem de f (ou seja, por que 2 não pertence ao alcance de f e por isso aparece como exclusão no domínio da inversa). Se fosse possível ter f(x)=2 então deveríamos ter
\frac{2x-1}{x+3}=2.
Resolvendo essa igualdade:
2x-1=2(x+3)=2x+6 \quad\Rightarrow\quad -1=6,
o que é impossível. Portanto f(x) nunca vale 2, logo 2 não pertence à imagem de f. Isso confirma que
\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{2\},
e portanto
\operatorname{Dom}(f^{-1})=\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{2\}.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para segurança): compor f com a candidata f^{-1} e ver que volta a identidade. Vou verificar f(f^{-1}(x)) para x\neq 2.
Primeiro escrevo f^{-1}(x)=\dfrac{3x+1}{2-x}. Substituo em f:
f\Big(f^{-1}(x)\Big)=\frac{2\cdot\frac{3x+1}{2-x}-1}{\frac{3x+1}{2-x}+3}.
Coloco tudo sobre o mesmo denominador (2-x):
= \frac{\frac{2(3x+1)}{2-x}-\frac{2-x}{2-x}}{\frac{3x+1}{2-x}+\frac{3(2-x)}{2-x}} = \frac{\frac{6x+2-(2-x)}{2-x}}{\frac{3x+1+6-3x}{2-x}} = \frac{6x+2-2+x}{3x+1+6-3x} = \frac{7x}{7} = x,
para x\neq 2. Isso confirma que a expressão encontrada é realmente a inversa no domínio adequado.

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{3x+1}{2-x}
\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-3\}
\operatorname{Dom}(f^{-1})=\mathbb{R}\setminus\{2\}

Exercícios relacionados