Determine a inversa de
com domínio
. Indique domínio e imagem da inversa.
Passo 1
O enunciado dá a função
com domínio
. Pede-se a inversa de
e que se indiquem o domínio e a imagem da inversa. Vou listar claramente o que temos:
- A fórmula da função:
. - O domínio de
é . - Deve-se encontrar
(a expressão), o domínio de e a imagem de .
Passo 2
O que significa achar a inversa? Uma função
tem inversa
se for bijetora (um a um e sobre) entre o domínio e a imagem. A inversa troca entrada por saída: se
então
. Na prática, para obter
resolvemos a equação
para
em termos de
.
Antes de resolver é importante garantir que
é injetora (um a um) no domínio dado, senão a inversa não existiria. Aqui, intuitivamente, quando
aumenta,
diminui e a raiz quadrada também diminui, então
é estritamente decrescente. Para um argumento mais direto, calcule a derivada (apenas para justificar monotonicidade):
para todo
do domínio. Como
,
é estritamente decrescente e, portanto, injetora. Logo existe inversa no intervalo indicado.
Passo 3
Agora resolvemos a equação
para
. Primeiro escrevo a igualdade e então elimino a raiz quadrada, lembrando que o lado esquerdo
representa o valor da raiz e, portanto, deve ser
:
Elevando ao quadrado ambos os lados (o que é válido porque
):
Isolando
:
Passo 4
A expressão acima dá
em função de
. Trocando o nome da variável de entrada da inversa para o habitual
, a inversa é
Aqui é importante lembrar que esta fórmula só faz sentido para valores de
que realmente aparecem como saídas de
(ou seja, para a imagem de
). Não devemos aceitar valores de
negativos que não pertençam à imagem original — por isso primeiro encontramos a imagem de
.
Passo 5
Determinar a imagem de
(que será o domínio de
). Como
é uma raiz quadrada, seus valores são não negativos, isto é,
para todo
do domínio. Também:
- No ponto
temos . - Quando
, e portanto .
Com isso a imagem de
é todo o intervalo
. Logo o domínio de
é
Passo 6
Determinar a imagem de
(que deve coincidir com o domínio original de
). Usando a fórmula
com
:
- Para
obtemos . - À medida que
, e então .
Portanto a imagem de
é
, que coincide com o domínio informado de
, como esperado.
Passo 7
Checagem rápida (consistência): para
,
onde usamos
porque
. Isso confirma que a fórmula está correta como inversa no domínio apropriado.
Resposta
Domínio de
Imagem de