Determine a inversa de
f(x)=\sqrt{5-2 x}
com domínio (-\infty, 5 / 2]. Indique domínio e imagem da inversa.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt{5-2x}
com domínio (-\infty,\tfrac{5}{2}]. Pede-se a inversa de f e que se indiquem o domínio e a imagem da inversa. Vou listar claramente o que temos:
  • A fórmula da função: \;f(x)=\sqrt{5-2x}.
  • O domínio de f é \;(-\infty,\tfrac{5}{2}].
  • Deve-se encontrar f^{-1} (a expressão), o domínio de f^{-1} e a imagem de f^{-1}.

Passo 2

O que significa achar a inversa? Uma função f tem inversa f^{-1} se for bijetora (um a um e sobre) entre o domínio e a imagem. A inversa troca entrada por saída: se y=f(x) então x=f^{-1}(y). Na prática, para obter f^{-1} resolvemos a equação y=f(x) para x em termos de y.
Antes de resolver é importante garantir que f é injetora (um a um) no domínio dado, senão a inversa não existiria. Aqui, intuitivamente, quando x aumenta, 5-2x diminui e a raiz quadrada também diminui, então f é estritamente decrescente. Para um argumento mais direto, calcule a derivada (apenas para justificar monotonicidade):
f'(x)=\frac{d}{dx}\sqrt{5-2x}=\frac{1}{2}(5-2x)^{-1/2}\cdot(-2)=-(5-2x)^{-1/2}<0
para todo x do domínio. Como f'(x)<0, f é estritamente decrescente e, portanto, injetora. Logo existe inversa no intervalo indicado.

Passo 3

Agora resolvemos a equação y=\sqrt{5-2x} para x. Primeiro escrevo a igualdade e então elimino a raiz quadrada, lembrando que o lado esquerdo y representa o valor da raiz e, portanto, deve ser \ge 0:
y=\sqrt{5-2x},\qquad y\ge 0.
Elevando ao quadrado ambos os lados (o que é válido porque y\ge 0):
y^{2}=5-2x.
Isolando x:
2x=5-y^{2}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{5-y^{2}}{2}.

Passo 4

A expressão acima dá x em função de y. Trocando o nome da variável de entrada da inversa para o habitual x, a inversa é
f^{-1}(x)=\frac{5-x^{2}}{2}.
Aqui é importante lembrar que esta fórmula só faz sentido para valores de x que realmente aparecem como saídas de f (ou seja, para a imagem de f). Não devemos aceitar valores de x negativos que não pertençam à imagem original — por isso primeiro encontramos a imagem de f.

Passo 5

Determinar a imagem de f (que será o domínio de f^{-1}). Como f(x)=\sqrt{5-2x} é uma raiz quadrada, seus valores são não negativos, isto é, f(x)\ge 0 para todo x do domínio. Também:
  • No ponto x=\tfrac{5}{2} temos f\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)=\sqrt{5-2\cdot\tfrac{5}{2}}=\sqrt{0}=0.
  • Quando x\to -\infty, 5-2x\to +\infty e portanto f(x)\to +\infty.
Com isso a imagem de f é todo o intervalo [0,\infty). Logo o domínio de f^{-1} é
\operatorname{Dom}(f^{-1})=[0,\infty).

Passo 6

Determinar a imagem de f^{-1} (que deve coincidir com o domínio original de f). Usando a fórmula f^{-1}(x)=\dfrac{5-x^{2}}{2} com x\ge 0:
  • Para x=0 obtemos f^{-1}(0)=\dfrac{5-0^{2}}{2}=\dfrac{5}{2}.
  • À medida que x\to+\infty, x^{2}\to+\infty e então f^{-1}(x)=\dfrac{5-x^{2}}{2}\to -\infty.
Portanto a imagem de f^{-1} é (-\infty,\tfrac{5}{2}], que coincide com o domínio informado de f, como esperado.

Passo 7

Checagem rápida (consistência): para x\ge 0,
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=\sqrt{\,5-2\cdot\frac{5-x^{2}}{2}\,}=\sqrt{5-(5-x^{2})}=\sqrt{x^{2}}=x,
onde usamos \sqrt{x^{2}}=x porque x\ge 0. Isso confirma que a fórmula está correta como inversa no domínio apropriado.

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{5-x^{2}}{2}
Domínio de f^{-1}: [0,\infty)
Imagem de f^{-1}: (-\infty,\tfrac{5}{2}]

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