1. Determine a inversa de função f(x)=\frac{x}{x+1}, x \neq 1, especificando o domínio e a imagem da inversa. Comprove diretamente a fórmula
g^{\prime}(y)=\frac{1}{f^{\prime}(x)}

Passo 1

O enunciado pede a inversa de
f(x)=\frac{x}{x+1},
uma função de variável real cujo denominador não pode ser zero. Logo, o domínio natural de f é \mathbb{R}\setminus\{-1\}. Precisamos achar g=f^{-1}, determinar o domínio e a imagem de g, e, por fim, comprovar diretamente que
g'(y)=\frac{1}{f'(x)},
onde y=f(x).

Passo 2

Para encontrar g, trocamos x por y e f(x) por x, ou seja, resolvemos
y = \frac{x}{x+1}
para x em função de y. Multiplicando ambos os lados por (x+1) temos
y\,(x+1)=x \quad\Longrightarrow\quad yx + y = x \quad\Longrightarrow\quad y = x - yx \quad\Longrightarrow\quad y = x\,(1 - y)
e, isolando x, vem
x = \frac{y}{1 - y}.
Portanto, a inversa é
g(y)=\frac{y}{1 - y}.

Passo 3

Como f\colon \mathbb{R}\setminus\{-1\}\to \mathbb{R}\setminus\{1\} (ela nunca atinge y=1, pois isso exigiria x+1\to\infty), a inversa g tem domínio igual à imagem de f e imagem igual ao domínio de f. Assim,
domínio de g é \mathbb{R}\setminus\{1\}
e imagem de g é \mathbb{R}\setminus\{-1\}.

Passo 4

Vamos calcular f'(x) por derivação de quociente:
f'(x) =\frac{(x+1)\cdot 1 - x\cdot 1}{(x+1)^2} =\frac{1}{(x+1)^2}.

Passo 5

Agora derivamos g(y)=y/(1-y) também por quociente:
g'(y) =\frac{1\cdot(1-y)-y\cdot(-1)}{(1-y)^2} =\frac{1-y+y}{(1-y)^2} =\frac{1}{(1-y)^2}.

Passo 6

Como y=f(x)=x/(x+1), temos
1-y = 1 - \frac{x}{x+1} =\frac{(x+1)-x}{x+1} =\frac{1}{x+1},
de onde
(1-y)^2=\frac{1}{(x+1)^2}.
Logo
g'(y) =\frac{1}{(1-y)^2} =(x+1)^2 =\frac{1}{\displaystyle \frac{1}{(x+1)^2}} =\frac{1}{f'(x)},
o que comprova diretamente a fórmula desejada.

Resposta

A inversa é
g(y)=\frac{y}{1 - y},
com domínio \mathbb{R}\setminus\{1\} e imagem \mathbb{R}\setminus\{-1\}, e satisfaz
g'(y)=\frac{1}{f'(x)}.

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