- Determine a inversa de função
, especificando o domínio e a imagem da inversa. Comprove diretamente a fórmula
Passo 1
O enunciado pede a inversa de
uma função de variável real cujo denominador não pode ser zero. Logo, o domínio natural de
é
. Precisamos achar
, determinar o domínio e a imagem de
, e, por fim, comprovar diretamente que
onde
.
Passo 2
Para encontrar
, trocamos
por
e
por
, ou seja, resolvemos
para
em função de
. Multiplicando ambos os lados por
temos
e, isolando
, vem
Portanto, a inversa é
Passo 3
Como
(ela nunca atinge
, pois isso exigiria
), a inversa
tem domínio igual à imagem de
e imagem igual ao domínio de
. Assim,
domínio de é
e imagem de é
.
domínio de
e imagem de
Passo 4
Vamos calcular
por derivação de quociente:
Passo 5
Agora derivamos
também por quociente:
Passo 6
Como
, temos
de onde
Logo
o que comprova diretamente a fórmula desejada.
Resposta
A inversa é
com domínio
e imagem
, e satisfaz