Determine a inversa das seguintes funções :
Passo 1
O enunciado pede: "Determine a inversa da função
".
Informações dadas: a função é
Informações dadas: a função é
Pergunta: encontrar a função inversa
, ou seja, expressar o valor de
em função do valor de saída (normalmente chamado de
ou de
se reusarmos a variável de entrada da inversa). Também é importante identificar o domínio da inversa (os valores para os quais ela faz sentido).
Passo 2
Primeiro passo matemático: simplificar a expressão usando uma propriedade do logaritmo natural. A propriedade é
para
. Intuição rápida:
, e aplicando
obtém-se
.
Aplicando essa propriedade com e
obtemos
Aplicando essa propriedade com
Passo 3
Substituindo na função, temos
Outra forma útil de ver isso é usar a propriedade de potências
. Assim
Logo
é uma função exponencial da forma
com
Note que
e
, então
é estritamente monótona (cresce ou decresce) e, portanto, invertível.
Passo 4
Agora a regra geral para inversa de uma exponencial: se
então a inversa é o logaritmo na base
:
Para obter fórmula com logaritmo natural, aplicamos
em ambos os lados
:
portanto
Isso dá a expressão prática que vamos usar.
Passo 5
Aplicando ao nosso caso:
. Calculamos
usando novamente
. Logo a inversa, escrevendo a variável de entrada da inversa como
(padrão comum), fica
Aqui cada símbolo significa:
é o logaritmo natural do argumento
;
e
são constantes.
Passo 6
Domínio e observação final: como
é uma exponencial com imagem positiva, a inversa somente recebe entradas positivas. Portanto o domínio de
é
. Também posso escrever a inversa em forma compacta como
Passo 7
Verificação rápida (checar que realmente é inversa): calcular
.
Dentro do
usamos
com
:
Portanto
E como
, a verificação fecha — compor f com sua inversa devolve
.