Determine a inversa das seguintes funções :
2^{\ln \left(3^{x}\right)}

Passo 1

O enunciado pede: "Determine a inversa da função 2^{\ln\left(3^{x}\right)}".
Informações dadas: a função é
f(x)=2^{\ln\left(3^{x}\right)}.
Pergunta: encontrar a função inversa f^{-1}, ou seja, expressar o valor de x em função do valor de saída (normalmente chamado de y ou de x se reusarmos a variável de entrada da inversa). Também é importante identificar o domínio da inversa (os valores para os quais ela faz sentido).

Passo 2

Primeiro passo matemático: simplificar a expressão usando uma propriedade do logaritmo natural. A propriedade é
\ln\left(a^{b}\right)=b\ln a,
para a>0. Intuição rápida: a^{b}=(e^{\ln a})^{b}=e^{b\ln a}, e aplicando \ln obtém-se b\ln a.
Aplicando essa propriedade com a=3 e b=x obtemos
\ln\left(3^{x}\right)=x\ln 3.

Passo 3

Substituindo na função, temos
f(x)=2^{\ln\left(3^{x}\right)}=2^{x\ln 3}.
Outra forma útil de ver isso é usar a propriedade de potências a^{bc}=(a^{b})^{c}. Assim
2^{x\ln 3}=\left(2^{\ln 3}\right)^{x}.
Logo f é uma função exponencial da forma f(x)=a^{x} com
a=2^{\ln 3}.
Note que a>0 e a\neq 1, então f é estritamente monótona (cresce ou decresce) e, portanto, invertível.

Passo 4

Agora a regra geral para inversa de uma exponencial: se
y=a^{x}\quad\text{com }a>0,\\ a\neq1,
então a inversa é o logaritmo na base a:
x=\log_{a}y.
Para obter fórmula com logaritmo natural, aplicamos \ln em ambos os lados y=a^{x}:
\ln y=\ln\left(a^{x}\right)=x\ln a,
portanto
x=\frac{\ln y}{\ln a}.
Isso dá a expressão prática que vamos usar.

Passo 5

Aplicando ao nosso caso: a=2^{\ln 3}. Calculamos \ln a usando novamente \ln\left(2^{\ln 3}\right)=(\ln 3)\ln 2. Logo a inversa, escrevendo a variável de entrada da inversa como x (padrão comum), fica
f^{-1}(x)=\frac{\ln x}{\ln\left(2^{\ln 3}\right)}=\frac{\ln x}{\left(\ln 3\right)\left(\ln 2\right)}.
Aqui cada símbolo significa: \ln x é o logaritmo natural do argumento x; \ln 2 e \ln 3 são constantes.

Passo 6

Domínio e observação final: como f é uma exponencial com imagem positiva, a inversa somente recebe entradas positivas. Portanto o domínio de f^{-1} é x>0. Também posso escrever a inversa em forma compacta como
f^{-1}(x)=\frac{\ln x}{\ln 2\,\ln 3},\qquad x>0.

Passo 7

Verificação rápida (checar que realmente é inversa): calcular f\big(f^{-1}(x)\big).
f\big(f^{-1}(x)\big)=2^{\ln\!\left(3^{\,\frac{\ln x}{\ln 2\,\ln 3}}\right)}.
Dentro do \ln usamos \ln\left(3^{u}\right)=u\ln 3 com u=\dfrac{\ln x}{\ln 2\,\ln 3}:
\ln\!\left(3^{u}\right)=u\ln 3=\frac{\ln x}{\ln 2\,\ln 3}\cdot\ln 3=\frac{\ln x}{\ln 2}.
Portanto
f\big(f^{-1}(x)\big)=2^{\frac{\ln x}{\ln 2}}.
E como 2^{\frac{\ln x}{\ln 2}}=e^{\ln 2\cdot\frac{\ln x}{\ln 2}}=e^{\ln x}=x, a verificação fecha — compor f com sua inversa devolve x.

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{\ln x}{\ln 2\,\ln 3},\quad x>0

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