Determine a inversa das seguintes funções :
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a inversa da função
dada por
Informações que o enunciado fornece (ou que podemos inferir imediatamente):
A tarefa é achar a função
que, aplicada ao valor
, devolve o
original.
Passo 2
Vou lembrar o que significa “achar a inversa” de forma prática: se temos
a estratégia é resolver essa equação para
em termos de
. Depois, trocamos a letra
por
para escrever a inversa como uma função de
. Aqui, vamos aplicar essa ideia direta.
Passo 3
Escrevemos a equação definindo
:
Expliquei antes que
transforma
em um número real, e
transforma esse número real em um ângulo no intervalo
. Isso garante que a composição está bem definida e que
pertence a
. Também é útil observar que
é estritamente crescente e
é estritamente crescente, logo a composição
é estritamente crescente e, portanto, injetora (tem inversa).
Passo 4
Agora resolvemos a equação
passo a passo para isolar
.
Primeiro, aplicamos a função
em ambos os lados. Como
,
é a inversa de
nesse intervalo, então temos:
Em seguida, aplicamos a função exponencial
(que é a inversa de
) em ambos os lados para isolar
:
Cada passo usou uma inversa conhecida:
quando o argumento fica no intervalo principal de
, e
para
.
Passo 5
Agora trocamos as letras para escrever a inversa como uma função de
. Substituindo
por
(convenção comum para a notação da inversa), obtemos:
Aqui é essencial lembrar o domínio natural dessa função inversa: como
tinha imagem
, a inversa
estará definida exatamente nesse intervalo. Ou seja, o domínio de
é
e sua imagem (contradomínio efetivo) é
.
Passo 6
Vamos checar rapidamente que esta inversa funciona (uma verificação curta, útil na prova):
Tomando
,
onde usamos
e
porque
está no intervalo principal de
. Isso confirma que compor
com
devolve
, como deve ser.