Determine a inversa das seguintes funções :
\arctan (\ln (x))

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da função f dada por
f(x)=\arctan(\ln(x)).
Informações que o enunciado fornece (ou que podemos inferir imediatamente):
\text{domínio de }f:\;x>0,í
\ln(x)\text{ está definida para }x\in(0,\infty)\text{ e seu conjunto imagem é }\mathbb{R},áé
\arctan(t)\text{ está definida para }t\in\mathbb{R}\text{ e seu conjunto imagem é }\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).áé
A tarefa é achar a função f^{-1} que, aplicada ao valor y=f(x), devolve o x original.

Passo 2

Vou lembrar o que significa “achar a inversa” de forma prática: se temos
y=f(x),
a estratégia é resolver essa equação para x em termos de y. Depois, trocamos a letra y por x para escrever a inversa como uma função de x. Aqui, vamos aplicar essa ideia direta.

Passo 3

Escrevemos a equação definindo y:
y=\arctan(\ln(x)).
Expliquei antes que \ln(x) transforma x\in(0,\infty) em um número real, e \arctan transforma esse número real em um ângulo no intervalo \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). Isso garante que a composição está bem definida e que y pertence a \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). Também é útil observar que \ln é estritamente crescente e \arctan é estritamente crescente, logo a composição f é estritamente crescente e, portanto, injetora (tem inversa).

Passo 4

Agora resolvemos a equação y=\arctan(\ln(x)) passo a passo para isolar x.
Primeiro, aplicamos a função \tan em ambos os lados. Como y\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right), \tan é a inversa de \arctan nesse intervalo, então temos:
\tan(y)=\ln(x).
Em seguida, aplicamos a função exponencial \exp (que é a inversa de \ln) em ambos os lados para isolar x:
x=\exp(\tan(y))=e^{\tan(y)}.
Cada passo usou uma inversa conhecida: \tan(\arctan(u))=u quando o argumento fica no intervalo principal de \arctan, e \exp(\ln(u))=u para u>0.

Passo 5

Agora trocamos as letras para escrever a inversa como uma função de x. Substituindo y por x (convenção comum para a notação da inversa), obtemos:
f^{-1}(x)=e^{\tan(x)}.
Aqui é essencial lembrar o domínio natural dessa função inversa: como f tinha imagem \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right), a inversa f^{-1} estará definida exatamente nesse intervalo. Ou seja, o domínio de f^{-1} é \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) e sua imagem (contradomínio efetivo) é (0,\infty).

Passo 6

Vamos checar rapidamente que esta inversa funciona (uma verificação curta, útil na prova):
Tomando x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right),
f(f^{-1}(x))=\arctan\big(\ln(e^{\tan(x)})\big)=\arctan(\tan(x))=x,
onde usamos \ln(e^{\tan(x)})=\tan(x) e \arctan(\tan(x))=x porque x está no intervalo principal de \arctan. Isso confirma que compor f com f^{-1} devolve x, como deve ser.

Resposta

f^{-1}(x)=e^{\tan(x)}, domínio: \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)

Exercícios relacionados