Determine a inversa das seguintes matrizes:
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\\\ 3 & 4 & 1 \\\\ 2 & 3 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\\\ 3 & 4 & 1\\\\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}.
O conteúdo que vamos usar é que uma matriz quadrada A é invertível se \det(A)\neq0 e, nesse caso,
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A),
onde \mathrm{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores de A.

Passo 2

Vamos calcular \det(A) expandindo pela primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}4&1\\\ 3&0\end{pmatrix} -0\cdot\det\begin{pmatrix}3&1\\\ 2&0\end{pmatrix} +(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}3&4\\\ 2&3\end{pmatrix}.
Agora cada determinante 2\times 2:
\det\begin{pmatrix}4&1\\\ 3&0\end{pmatrix} =4\cdot0 - 1\cdot3 = -3,
\det\begin{pmatrix}3&4\\\ 2&3\end{pmatrix} =3\cdot3 - 4\cdot2 = 9 - 8 = 1.
Logo
\det(A) = 1\cdot(-3) + 0 + (-2)\cdot1 = -3 -2 = -5 \neq 0,
então A é invertível.

Passo 3

Agora formamos a matriz de cofatores C = (C_{ij}), onde
C_{ij} = (-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
e M_{ij} é o menor obtido ao riscar a linha i e coluna j. Calculando todos:
C = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 1\\\\ -6 & 4 & -3\\\\ 8 & -7 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 4

A adjunta de A é a transposta de C:
\mathrm{adj}(A) = C^{T} = \begin{pmatrix} -3 & -6 & 8\\\\ 2 & 4 & -7\\\\ 1 & -3 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente,
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A) = \frac{1}{-5} \begin{pmatrix} -3 & -6 & 8\\\\ 2 & 4 & -7\\\\ 1 & -3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{6}{5} & -\frac{8}{5}\\\\ -\frac{2}{5} & -\frac{4}{5} & \frac{7}{5}\\\\ -\frac{1}{5} & \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{6}{5} & -\frac{8}{5}\\\\ -\frac{2}{5} & -\frac{4}{5} & \frac{7}{5}\\\\ -\frac{1}{5} & \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \end{pmatrix}.

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