- Determine, justificando se a afirmação é verdadeira ou falsa:
(a) Se
for uma matriz quadrada e
, então
é um autovetor de
.
(b) Se
for um autovalor de uma matriz
, então o sistema linear
só tem a solução trivial
.
(c) Se o polinômio característico de um operador linear
é
, então
é invertível.
(a) Se
(b) Se
(c) Se o polinômio característico de um operador linear
Passo 1
O enunciado pede para decidir se cada afirmação é verdadeira ou falsa, usando conceitos de autovalores, autovetores e invertibilidade de matriz. Vamos empregar a definição de autovetor (vetor não-nulo
tal que
), a relação entre autovalores e o sistema
, e o fato de que uma matriz é invertível se e somente se zero não é raiz do seu polinômio característico.
Passo 2
Analise de (a): “Se
for uma matriz quadrada e
com
, então
é um autovetor de
.”
Pela definição, é autovetor se e somente se
e
. O enunciado não exige
, logo
satisfaz
mas não é considerado autovetor. Portanto a afirmação é falsa.
Pela definição,
Passo 3
Analise de (b): “Se
for um autovalor de uma matriz
, então o sistema
só tem a solução trivial
.”
Por definição, é autovalor se existir vetor não-nulo
com
. Logo esse sistema tem solução não-trivial. A afirmação é falsa.
Por definição,
Passo 4
Analise de (c): “Se o polinômio característico de um operador linear
é
, então
é invertível.”
O polinômio característico não tem raiz , isto é,
. Uma matriz com determinante não-nulo é invertível. Portanto a afirmação é verdadeira.
O polinômio característico não tem raiz
Resposta
(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira