1. Determine, justificando se a afirmação é verdadeira ou falsa:
    (a) Se A for uma matriz quadrada e A v=\lambda v \operatorname{com} \lambda \neq 0, então v é um autovetor de A.
    (b) Se \lambda for um autovalor de uma matriz A, então o sistema linear (\lambda I-A) X=0 só tem a solução trivial X=0.
    (c) Se o polinômio característico de um operador linear T é p(x)=x^{2}+1, então T é invertível.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada afirmação é verdadeira ou falsa, usando conceitos de autovalores, autovetores e invertibilidade de matriz. Vamos empregar a definição de autovetor (vetor não-nulo v tal que Av=\lambda v), a relação entre autovalores e o sistema (\lambda I - A)X=0, e o fato de que uma matriz é invertível se e somente se zero não é raiz do seu polinômio característico.

Passo 2

Analise de (a): “Se A for uma matriz quadrada e Av=\lambda v com \lambda\neq 0, então v é um autovetor de A.”
Pela definição, v é autovetor se e somente se v\neq 0 e Av=\lambda v. O enunciado não exige v\neq 0, logo v=0 satisfaz Av=\lambda v mas não é considerado autovetor. Portanto a afirmação é falsa.

Passo 3

Analise de (b): “Se \lambda for um autovalor de uma matriz A, então o sistema (\lambda I - A)X=0 só tem a solução trivial X=0.”
Por definição, \lambda é autovalor se existir vetor não-nulo X com (\lambda I - A)X=0. Logo esse sistema tem solução não-trivial. A afirmação é falsa.

Passo 4

Analise de (c): “Se o polinômio característico de um operador linear T é p(x)=x^{2}+1, então T é invertível.”
O polinômio característico não tem raiz x=0, isto é, \det(T)=p(0)=1\neq 0. Uma matriz com determinante não-nulo é invertível. Portanto a afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Verdadeira

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